离散数学中的群阶

在群论中，“阶”这个术语可以指定为两个密切相关的含义。

• 群的阶可以通过其基数来描述，这意味着其元素的数量。
• 有时，一个阶可以被称为周期。因此，在一个群中，元素 'a' 的阶是一个正整数 'm'。a 和 m 之间的关系如下描述：

其中

a^m 用于指定 a 的 m 个副本的乘积。

e 用于指定群的单位元。

如果群的阶没有 m，则 a 将具有无限阶。在有限群中，所有元素都具有有限阶。

|G| 或 ord(G) 用于指定群 G 的阶。

|a| 或 ord(a) 用于指定元素 a 的阶。

示例：在本例中，我们将描述对称群 S₃ 的乘法表。

上述群有 6 个元素。所以 ord(S₃) = 6。当我们执行上述表时，单位元 e 的阶为 1。s、t 和 w 的平方都等于 e，这意味着群元素 s、t 和 w 的阶为 2。当枚举完成时，u 和 v 的阶都为 3，因为 u² = v，u³ = vu = e，v² = u 和 v³ = uv = e。

阶和结构

群的结构可以通过群和元素的阶来描述。换句话说，如果阶的因子分解复杂，则群将更复杂。

如果群的阶为 1，则该群称为平凡群。假设我们有一个元素 x，则当 ord(x) = 1 时，x 将被称为单位元。如果群 G 的每个元素都等于其自身的逆元，则群的阶 ord(x) 将为 2，因此群 G 将是交换群。因为 xy = (yy)xy(xx) = y(yx)(yx)x = yx。如果我们试图反证这个陈述，则不一定成立。例如，如果循环群 Z₆ 包含 6 个整数模，则该群是交换群，但数字 2 的阶为 3（2+2+2 = 6 = 0 (mod6)）。

这两种阶的概念之间存在一些关系，如下所述：

如果 a 生成子群，则

对于任何整数 k，如果 ord(a) 整除 k，则将有以下关系：

一般来说，我们可以说 G 的阶被其子群的阶整除。更精确地说：如果群 G 有子群 H，那么它们将有以下关系：

其中

[G : H] 用于表示 H 在 G 中的指数，这是一个整数。这称为拉格朗日定理。

上述关系将产生一些直接的推论，即群的阶被其每个元素的阶整除。例如，在上面的对称群中，我们看到 ord(S₃) = 6，而元素的阶为 1、2 或 3。

对于有限群，以下部分反命题是成立的。如果 d 是一个素数且 d 整除群 G 的阶，则 G 中将存在一个阶为 d 的元素。这称为柯西定理。对于复合阶，此陈述不成立，因为克莱因四元群中不存在阶为 4 的元素，该群在归纳证明中有所描述。此定理产生一些推论，指出如果 G 中每个元素 a 的阶都是 p 的幂，那么群的阶将是 p 的幂。

如果 'a' 具有有限阶，则 'a' 的所有幂都将具有有限阶。现在我们将描述 'a' 的幂（如果它具有有限阶）的阶的公式：

其中

k 表示一个整数。

a 的逆元 (a^-1) 的阶与 a 的阶相等或相同。

我们没有公式可以解释 a、b 和乘积 ab 的阶。可能出现 ab 的阶为无穷大，而 a 和 b 的阶都为有限的情况。也可能出现 ab 的阶为有限，而 a 和 b 的阶都为无穷大的情况。如果 a 和 b 满足 ab = ba，则 ord(ab) 可能整除 lcm(ord(a), odr(b))。此陈述产生了一些推论，可以证明如果 m 用于指定阿贝尔群中所有元素阶的最大值，则每个元素的阶都整除 m。

按元素阶计数

为了解释按元素阶计数，我们将假设 G 表示阶为 n 的有限群，d 表示 n 的一个约数。G 中阶为 d 的元素的数量是 φ(d) 的乘积。其中 φ 用于指定欧拉的 totient 函数，该函数用于提供小于或等于 d 的正整数的数量。例如，我们有一个 S₃ 的例子，其中 φ(3) = 2，阶为 3 的元素正好有两个。此定理对于阶为 2 的元素没有提供有用的信息，因为 φ(2) = 1。复合 d 的效用非常有限，即 d = 6，因为 φ(6)=2。这意味着在 S₃ 中，阶为 6 的元素有 0 个。

与同态的关系

通过群同态可以减少元素的阶。如果同态由关系 f: G → H 表示，并且 'a' 是 G 中的一个元素且具有有限阶，则 ord(a) 将被 ord(f(a)) 整除。如果 f 是单射的，则 ord(f(a)) 将等于 ord(a) 或 ord(f(a)) = ord(a)。我们可以使用此陈述来证明两个给定的具体群不包含同态（单射）。例如，关系 h: S3 → Z5 没有非平凡同态，因为 Z5 中的每个数字（除 0 外）的阶都为 5。在 S3 中，数字 0 不能整除元素 1、2 和 3 的阶。对此有一些进一步的推论，通过这些推论，共轭元素将具有相同的阶。

类方程

类方程可以描述为关于阶的重要结果。它用于将有限群 G 的阶与其中心 Z(G) 的阶以及其非平凡共轭类的数量联系起来，如下所示：

其中

d_i 用于指定非平凡共轭类的大小。这些也可以描述为 |G| 的真约数，大于 1。它们也等于 G 中中心化子的指数。它也用于表示非平凡共轭类。例如，平凡群可以由 S₃ 的中心表示，该中心仅包含一个元素 'e'。S₃ 的类方程如下所示：