集合类型

集合可以分为许多类别。其中一些是有限集、无限集、子集、全集、真子集、幂集、单例集等。

1. 有限集： 如果一个集合包含恰好 n 个不同的元素，其中 n 是一个非负整数，则称该集合为有限集。这里，n 称为“集合的基数”。集合的基数用 |A|、# A、card(A) 或 n(A) 表示。

示例

1. 空集 θ 的基数是 0，表示为 |θ| = 0
2. 正偶数集合不是有限集。

2. 无限集： 非有限集称为无限集。

可数无限： 如果集合中的元素与 N 中的元素之间存在一对一的对应关系。可数无限集也称为可数集。有限集或可数集称为可数集。不可数集称为不可数集。非负偶数的集合是可数无限的。

不可数无限： 非可数集称为不可数无限集或不可数集或简称不可数集。

示例：小于 1 的所有正实数集 R，可以用小数形式 0. a₁,a₂,a₃.....表示，其中 a₁ 是一个整数，且 0 ≤ a_i ≤ 9。

3. 子集： 如果集合 A 中的每个元素也是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集。可以表示为 A ⊆ B。这里 B 称为 A 的超集。

示例：如果 A = {1, 2} 且 B = {4, 2, 1}，则 A 是 B 的子集或 A ⊆ B。

子集性质

1. 每个集合都是自身的子集。
2. 空集 ∅ 是每个集合的子集。
3. 如果 A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则 A 是 C 的子集。如果 A ⊂ B 且 B ⊂ C ⟹ A ⊂ C
4. 一个有 n 个元素的有限集有 2ⁿ 个子集。

4. 真子集： 如果 A 是 B 的子集且 A ≠ B，则称 A 是 B 的真子集。如果 A 是 B 的真子集，则 B 不是 A 的子集，即 B 中至少有一个元素不在 A 中。

示例

(i)令 A = {2, 3, 4}
B = {2, 3, 4, 5}

A 是 B 的真子集。

(ii)空集 ∅ 是每个集合的真子集。

5. 假子集： 如果 A 是 B 的子集且 A = B，则称 A 是 B 的假子集。

示例

(i) A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 4}

A 是 B 的假子集。

(ii)每个集合都是自身的假子集。

6. 全集： 如果所有研究的集合都是某个固定集合 U 的子集，则称集合 U 为全集。

示例：在人口研究中，全集包含世界上所有的人。

7. 空集或无集： 没有元素的集合称为空集或无集。它表示为 ∅。

8. 单例集： 只包含一个元素的集合。它表示为 {s}。

示例：S = {x|x∈N, 7

9. 相等集： 如果两个集合 A 和 B 具有相同的元素，则称它们相等，记作 A = B。因此，属于 A 的每个元素也属于集合 B，并且属于集合 B 的每个元素也属于集合 A。

如果集合 A 中存在不属于集合 B 的元素，反之亦然，则 A ≠ B，即 A 不等于 B。

10. 等势集： 如果两个集合的基数相等，则称它们为等势集。

示例：如果 A = {1, 2, 6} 且 B = {16, 17, 22}，它们是等势集，因为 A 的基数等于 B 的基数。即 |A|=|B|=3

11. 不相交集： 如果集合 A 中的元素不在 B 中，并且集合 B 中的元素也不在 A 中，则称两个集合 A 和 B 是不相交集。

示例

R = {a, b, c}
S = {k, p, m}

R 和 S 是不相交集。

12. 幂集： 任何给定集合 A 的幂集是 A 的所有子集的集合，表示为 **P(A)**。如果 A 有 n 个元素，则 **P(A)** 有 **2ⁿ** 个元素。

示例：A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。

集合的划分

设 S 为一个非空集合。S 的划分是将 S 分割成不重叠的非空子集。具体来说，S 的一个划分是 {A_i} 的集合，其中 A_i 是 S 的非空子集，并且

• S 中的每个元素 a 都属于 A_i 中的一个。
• 集合 {A_i} 是互不相交的；也就是说，

Aj≠ Ak Then Aj ∩ Ak= ∅

划分中的子集称为单元。

图：矩形集合 S 的点的划分到五个单元 A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ 的维恩图

维恩图

维恩图是集合的一种图形表示，其中平面中的一个封闭区域表示集合。

示例