离散数学中的环

环是一种代数结构 (R, +, .) 或 (R, *, .)，用于包含非空集合 R。有时我们将 R 表示为环。它通常包含两个二元运算：乘法和加法。

代数系统用于包含一个非空集合 R、运算 o 以及 R 上的运算符 (+ 或 *)，使得

• (R, o) 是一个半群，(R, *) 是一个代数群。
• 如果运算 o 对运算符 * 满足分配律，则称其为环。

我们需要满足一些公设。这些公设描述如下

R1

代数群由系统 (R, +) 描述。因此它包含一些属性，描述如下

1. 封闭性

在封闭性属性中，集合 R 对于运算 '+' 称为这样

2. 结合律

在结合律中，集合 R 与运算 '+' 相关联，如下所示

3. 存在单位元

这里，R 用于包含一个加法单位元。该元素称为零元素，用 0 表示。表示此的语法描述如下

4. 存在逆元

在逆元存在中，对于每个 x ∈ R，存在元素 x ∈ R 如下所示

5. 加法交换律

在交换律中，集合 R 对于运算 + 表示如下

R2

这里，集合 R 在乘法运算下是封闭的，如下所示

R3

这里，存在乘法运算的结合律，如下所示

R4

乘法运算相对于加法存在左右分配律，如下所示

右分配律

左分配律

环的类型

环有多种类型，描述如下

零环

如果单元素 (0) 与二元运算符 (+ 或 *) 一起使用，则称环为零环或零环。零环可以描述如下

交换环

如果环中的乘法也满足交换律，则称环 R 为交换环，这意味着 x 既是零的右因子，也是零的左因子。交换环可以描述如下

如果环中的乘法不满足交换律，则称环为非交换环。

带单位元的环

如果环具有一个元素 e 如下所示，则称该环为带单位元的环

其中

e 可以定义为 R 的单位元、单一元或单位元素。

带零因子的环

如果环包含两个非零元素 x, y ∈ R，则称该环为零因子环。带零因子的环可以描述如下

其中

x 和 y 可以称为零的真因子，因为在第一种情况下，x 是零的右因子，在第二种情况下，x 是零的左因子。

0 在 R 中描述为加法单位元

无零因子的环

如果环中没有两个非零元素的乘积为零，则称该环为无零因子的环。无零元素的环可以描述如下

环的性质

如果 R 是一个环，则所有 x, y, z ∈ R

1. (-x)(-y) = xy
2. x0 = 0x = 0
3. (y-z)x = yx- zx
4. x(-y) = -(xy) = (-x)y
5. x(y-z) = xy - xz