离散数学中的主理想域

PID（主理想域）可以被描述为一个整环，其中一个单一的元素被用来生成每一个真理想。要理解 PID，我们首先需要学习代数结构和环。在那之后，我们就能理解整环、主理想和主理想域这两个术语了。

代数结构

代数结构可以被描述为一个非空集合 G，它配备有一个或多个二元运算。在二元运算中，我们取两个输入，并对这些输入执行运算，如加法、减法、除法或乘法。运算后，我们将得到一个输出数字。这里 (R, +, *) 被称为代数结构，它配备了两种运算，即加法 (+) 和乘法 (*)。

示例

1. (N, +)，其中 N 用来表示自然数集
2. (R, *)，其中 R 用来表示实数集，* 用来表示乘法运算。

环形

环可以通过代数结构形成，代数结构用于同时设置两种二元运算的处理。当我们对一个非空集合 R 执行加法或乘法等运算时，如果它包含以下条件，则称为环。

1. (R, +) 在满足各种群 G1、G2、G3、G4 和 G5 时称为交换群。
2. (R, *) 在满足各种群 G1 和 G2 时称为半群。
3. 乘法对加法分配
   1. 右分配律：(y + z) * x = (y * x) + (z * x)；∀ x, y, z ∈ R
   2. 左分配律：(y + z) * x = (y * x) + (z * x)；∀ x, y, z ∈ R

这些的详细解释如下

群组

代数结构 (G, o) 如果 o 满足以下所有条件，则为一个群。这里 G 用来表示一个非空集合，o 用来表示二元运算。这些条件如下描述：

G1：如果群 G1 包含 x ∈ G, y ∈ G => x o y ∈ G，其中 x, y ∈ G 等条件，则称为闭包。

G2：如果群 G2 包含 (x o y) o z = x o (y o z)，其中 x, y, z ∈ G 等条件，则称为结合律。

G3：如果群 G3 包含 x o e = e o x = x，其中 x ∈ G 等条件，则称为单位元。这里，e 用作单位元。例如：加法的单位元是 0。

G4：如果群 G4 包含 x o x^-1 = x^-1 o x = e，其中 x ∈ G 等条件，则称为逆元存在。

阿贝尔群

代数结构 (G, o) 如果 o 满足 G1、G2、G3、G4 的所有性质以及一个额外的 G5，则为交换群。这里 G 用来表示一个非空集合，o 用来表示二元运算。这些条件如下描述：

G1：它是闭包，因为它满足 x ∈ G, y ∈ G => x o y ∈ G，其中 x, y ∈ G 等条件。

G2：它是结合律，因为它满足 (x o y) o z = x o (y o z)，其中 x, y, z ∈ G 等条件。

G3：它是单位元，因为它满足 x o e = e o x = x，其中 x ∈ G 等条件。这里 e 用作单位元。例如：加法的单位元是 0。

G4：它是逆元存在，因为它满足 x o x^-1 = x^-1 o x = e，其中 x ∈ G 等条件。

G5：它是交换律，因为它满足 x o y = y o x，其中 x, y ∈ G 等条件。

半群

代数结构 (G, o) 如果 o 满足以下 G1 和 G2 的所有性质，则为半群。这里 G 用来表示一个非空集合，o 用来表示二元运算。这些条件如下描述：

G1：它是闭包，因为它满足 x ∈ G, y ∈ G => x o y ∈ G，其中 x, y ∈ G 等条件。

G2：它是结合律，因为它满足 (x o y) o z = x o (y o z)，其中 x, y, z ∈ G 等条件。

有两种方式可以写出环的结构，即我们可以简单地写 R，或者写 (R, +, *)。

注意：0 是一个加法唯一量，也称为环 R 的零元素。

交换律

一个环 R 是交换的，意味着乘法 (*) 是交换的。

整环

整环可以被描述为一个包含 (R, +, *) 的环。这里

(R, +, *) 是交换的

它用于指定乘法 (*) 是交换的。

(R,+,*) 是一个带单位元的环

它用于指定存在一个单位元，例如 1∈ R，形式如下

R 是一个没有零因子（零因子）的环

为此，它将采用以下形式

主理想

假设 (R, +, *) 是一种包含单位元 1 的交换环。

假设 x ∈ R，那么集合 { ra : r ∈ R 是一个理想 } 将被称为主理想域，它由 x 生成。

主理想域 (PID)

如果一个环 R 或 (R, +, *) 包含以下内容，则称其为主理想域。

• R 必须是整环。
• 在环 R 中，每个理想都是主理想。

如果环的每个单边理想都是理想，则该环称为主理想环。PID 可以被描述为一个不包含零因子的主环。

注意：积分闭域 ⊂ 整环 ⊂ 交换环 ⊂ 环。

PID（主理想域）的例子

示例 1

在这个例子中，我们要证明每个域都是一个主理想域。

解：为此，我们将 F 假设为一个域。因此，F 也是一个整环。这个域 F 也包含一些单位元，如下所示。

所以，我们可以说 F 是带单位元的整环。

每个域只有 2 个理想。因此，域 F 包含两个理想：F 和 {0}，如下所示。

所以 F 中有 2 个理想，我们可以通过以下形式表示这些理想。

因此，我们可以说每个域 F 都是一个主理想域 (PID)。

注意：这个陈述的逆命题不成立。

示例 2

在这个例子中，我们要证明整数环 Z 是一个主理想域。

解：我们知道整数集 Z 是一种整环。

假设 J 是 Z 中的一个理想。在这里，我们要证明 J 是一个主理想。

情况 1：如果 J = {0}，那么它将是 PI（主理想），因此它也将是结果。

情况 2：假设 0 ≠ x ∈ J。如果 J ≠ {0}，那么对于某个正数 x，-x = {-1} x ∈ J。

因此，J 至少包含一个正整数。假设 'a' 是 J 中最小的正整数。

这里我们将声称 J = { ra : r ∈ Z}。

对于 x ∈ J，通过除法算法，我们将得到以下结果

但是 J 是一个理想，a ∈ J，q ∈ Z。

但是 'a' 被用来表示 J 中满足 0 ≤ r ≤ a 的最小正整数。因此，我们将得到 r = 0。

因此，Z 是一个主理想域 (PID)。