容斥原理

设 A, B 为任意两个有限集合。 则 n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B)

这里 “包含” n (A) 和 n (B)，我们 “排除” n (A ∩ B)

示例 1

假设 A、B、C 是有限集合。 那么 A ∪ B ∪ C 是有限集合，且 n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

示例 2

在一个有 10000 个家庭的城镇中，发现 40% 的家庭购买报纸 A，20% 的家庭购买报纸 B，10% 的家庭购买报纸 C，5% 的家庭购买报纸 A 和 B，3% 的家庭购买报纸 B 和 C，4% 的家庭购买报纸 A 和 C。 如果有 2% 的家庭购买所有报纸。 求购买的家庭数量

1. 购买所有三种报纸的家庭数量。
2. 仅购买报纸 A 的家庭数量
3. 仅购买报纸 B 的家庭数量
4. 仅购买报纸 C 的家庭数量
5. 不购买 A、B、C 任何一份报纸的家庭数量
6. 仅购买一份报纸的家庭数量
7. 仅购买报纸 A 和 B 的家庭数量
8. 仅购买报纸 B 和 C 的家庭数量
9. 仅购买报纸 C 和 A 的家庭数量
10. 至少购买两份报纸的家庭数量
11. 至多购买两份报纸的家庭数量
12. 正好购买两份报纸的家庭数量

解决方案

1. 购买所有三种报纸的家庭数量

2. 仅购买报纸 A 的家庭数量

3. 仅购买报纸 B 的家庭数量

4. 仅购买报纸 C 的家庭数量

5. 不购买 A、B 和 C 任何一份报纸的家庭数量

n (A ∪B ∪C)c = 100 - n (A ∪ B ∪ C)
n (A ∪B ∪C)c = 100 - [40 + 20 + 10 - 5- 3- 4 + 2]
n (A ∪B ∪C)c = 100 - 60 = 40 %

6. 仅购买一份报纸的家庭数量

7. 仅购买报纸 A 和 B 的家庭数量

8. 仅购买报纸 B 和 C 的家庭数量

9. 仅购买报纸 C 和 A 的家庭数量

10. 至少购买两份报纸的家庭数量

11. 至多购买两份报纸的家庭数量

12. 正好购买两份报纸的家庭数量