离散数学中的双射函数

双射函数也可以称为一对一对应函数或双射。一对一函数（单射函数）和一对一对应是不同的概念，所以我们不应该混淆它们。如果一个函数 f: X → Y 同时满足满射函数（映上函数）和单射函数（一对一函数）的性质，那么它就被称为双射函数。

在双射中，集合中的每个元素都有其对应的元素，没有遗漏。因此，我们可以说集合的成员具有完美的“一对一对应”。双射函数也可以称为**逆函数**，因为它们具有逆函数的性质。符号 **f^-1** 用于表示双射的逆。在逆函数中，每个 'b' 都有一个匹配的 'a'，并且每个 'a' 都映射到一个唯一的 'b'，这意味着 f(a) = b。因此 f^-1(b) = a。

双射函数的性质

如果一个双射函数 f: X → Y，那么对于 X 中的每个元素 x 和 Y 中的每个元素 y，都有 f(x) = y。因此，我们可以说元素 'a' 是元素 'b' 的原像。同样，元素 'b' 是元素 'a' 的像。现在我们将学习双射函数的基本性质，其描述如下：

如果我们尝试映射两个函数 X 和 Y，那么如果它们满足以下性质，它们将成为双射：

• X 中的每一个元素都必须与 Y 中的至少一个元素配对。
• X 中的元素不能与 Y 中的多个元素配对。
• Y 中的每一个元素都必须与 X 中的至少一个元素配对。
• Y 中的元素不能与 X 中的多个元素配对。

区别

在这里，我们将学习单射（一对一）、满射（映上）和双射（一对一对应）之间的区别，如下所示：

序号	单射函数	满射函数	双射函数
1	如果定义域中的不同元素映射到其共定义域中的不同元素，则该函数是单射的。	如果 A 中的一个或多个元素映射到 B 中的同一个元素，则该函数是满射的。	双射函数同时包含单射函数和满射函数。
2	此函数也可称为一对一函数。	此函数也可称为映上函数。	此函数也可称为一对一对应。
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证明函数是双射

在本节中，我们将证明描述的函数是否为双射。如果我们想确定两个集合之间的双射，首先我们将定义一个映射 f: A → B。之后，我们将得出 |A| = |B| 来证明 f 是双射。我们可以通过写出 f 的逆来证明函数 f 是双射的，或者我们可以分两步来说明，如下所示：

1. f 是满射
2. f 是单射

如果我们有两个大小相同的集合 A 和 B，那么在这种情况下，集合之间不会存在双射，该函数也不是双射。双射可以被描述为将定义域 A 的元素与共定义域 B 的元素“配对”。事实上，如果 |A| = |B| = n，则 A 和 B 之间将有 n! 个双射。

双射函数的例子

在这里，我们将解释双射函数的各种示例。

示例 1

在这个例子中，我们需要证明函数 f(x) = 3x - 5 是从 R 到 R 的双射。

解决方案

基于双射函数，给定的函数 f(x) = 3x - 5 将是双射函数，如果它同时是满射和单射函数。

证明函数是单射

如果我们想证明给定的函数是单射的，那么我们必须证明如果 f(a) = c 且 f(b) = c，则 a = b。

为此，我们将假设：

因此，我们可以这样写：

因此，我们可以这样写：

当我们简化这个方程时，我们将得到以下结果：

所以，我们可以说给定的函数 f(x) = 3x - 5 是单射的。

证明函数是满射

如果我们想证明一个给定的函数是满射的，那么我们必须首先证明在值域的任何一个点 'a' 处，都存在一个子域 's' 中的点 'b'。这意味着 f(b) = a。

为此，我们将假设：

因此，b 的值将是这样的：

由于上述数字是一个实数，并且也显示在定义域中。因此，我们可以说该函数是满射的。

因此，函数 f(x) = 3x - 5 满足映上函数和一对一函数的条件。所以我们可以说给定的函数是双射的。

示例 2

在这个例子中，我们将有一个函数 f: A → B，其中集合 A = {x, y, z} 和 B = {a, b, c}。我们需要证明这个函数是否是双射的。

解决方案

我们知道 f: A → B 使得

我们可以看到上述函数满足映上函数和一对一函数的性质。因此，给定的函数是一个双射函数。

示例 3

在这个例子中，我们需要证明函数 f(x) = x² 是否是从正实数集合到自身的双射函数。

解决方案

对于正实数，给定的函数 f(x) = x² 既是单射又是满射。因此，它也是双射的。

但是对于所有实数 R，同一个函数 f(x) = x² 有 2 和 -2 的可能性。所以 f(2) = 4 且 f(-2) = 4，这不满足双射的性质。因此，我们可以说对于所有实数，该函数不是双射的。

示例 4

在这个例子中，我们需要证明函数 f: {一年中的月份} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 是否是双射函数。

解决方案

如果我们将函数定义为 f(M) = 该月所代表的序号 'n'，则给定的函数将是双射的。