函数的复合

考虑函数 f: A → B 和 g: B → C。f 与 g 的复合是从 A 到 C 的函数，定义为 (gof) (x) = g [f(x)]，并由 gof 定义。

      为了找到 f 和 g 的复合，首先找到 x 在 f 下的像，然后找到 f (x) 在 g 下的像。

示例 1

考虑函数 f = {(1, a), (2, a), (3, b)} 和 g = {(a, 5), (b, 7)}，如图所示。求 gof 的复合。

解决方案： 复合函数 gof 如图所示。

(gof) (1) = g [f (1)] = g (a) = 5, (gof) (2) = g [f (2)] = g (a) = 5
(gof) (3) = g [f (3)] = g (b) = 7.

例 2： 考虑 f、g 和 h，它们都是整数上的函数，其中 f (n) =n²，g (n) = n + 1 和 h (n) = n - 1。

确定 (i) hofog       (ii) gofoh       (iii) fogoh。

解决方案

(i) hofog (n) = n + 1,
    hofog (n + 1) = (n+1)2 
h [(n+1)2 ] = (n+1)2 - 1 = n2 + 1 + 2n - 1 = n2 + 2n.

(ii) gofoh (n) = n - 1, gof (n - 1) = (n-1)2 
     g [(n-1)2 ] = (n-1)2 + 1 = n2 + 1 - 2n + 1 = n2 - 2n + 2.
	 
(iii) fogoh (n) = n - 1
      fog (n - 1) = (n - 1) + 1
      f (n) = n2.

注意

• 如果 f 和 g 是一对一的，那么函数 (gof) (gof) 也是一对一的。
• 如果 f 和 g 是满射的，那么函数 (gof) (gof) 也是满射的。
• 复合一致地保持结合律，但不保持交换律。