离散数学中的恒等函数

恒等函数是一种特殊的线性函数，用于返回与输入相同的输出。也就是说，在恒等函数中，输出和输入是相同的。我们也可以将恒等函数称为恒等关系或恒等映射。对于恒等函数，值域和定义域是相等的。

换句话说，我们可以说，如果一个函数返回与我们用作输入的相同的值作为输出，那么这种函数就称为恒等函数。在本节中，我们将学习恒等函数的定义、性质和示例。

数学中恒等函数的定义

如果集合 B 中的每个元素都给出自身的像，则该函数称为恒等函数，即 g(b) = b ∀ b ∈ B。恒等函数用符号“I”表示。假设有一个函数 g。自变量 x 的恒等函数表示为 g(x) = x。在定义域中，元素的像与值域中的输出相同。这就是为什么我们将此函数称为恒等函数。在恒等函数中，每个实数都与自身对应。在此函数中，输入和输出是相似的。我们可以非常容易地判断给定的函数是否是恒等函数，因为在恒等函数中，像和原像相同。

为了说明这一点，我们将考虑一个函数示例，其中我们必须将集合 A 的元素映射到自身。这里 A = {1, 2, 3, 4, 5}，并且 g: A → A。我们必须像这样映射 g：g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}

在上图中，集合 A 的每个元素都映射到自身。因此函数 f 是恒等函数。这就是为什么函数 f 也是满射和单射函数。

恒等函数的定义域、值域和反函数

恒等函数可以描述为实值函数，表示为 g: R → R，其中对于每个 x ∈ R，g(x) = x。这里 R 用于表示实数集，它是函数 g 的定义域。对于恒等函数，值域和定义域是相同的。这意味着如果我们输入 90，则结果/输出也将是 90。如果我们的输入是 0，则恒等函数的将结果/输出也将是 0。下面描述了一些与恒等函数的定义域、值域和反函数相关的重要点：

• R 将是恒等函数 g(x) 的定义域。
• R 也将是恒等函数的范围。
• 在恒等函数中，值域和共域是相等的集合。这意味着该函数是满射的。
• 如果我们对任何函数求反，在这种情况下，该函数的范围和定义域会互换。因此，我们可以说恒等函数是可逆的，并且该函数本身就是它的反函数。

恒等函数的图

当我们想绘制恒等函数的图时，我们需要使用 x 轴和 y 轴。x 轴将用于绘制 x 坐标的值，y 轴将用于绘制 y 坐标的值。恒等函数的图将始终是一条穿过原点的直线。在此函数中，值域和定义域是相等的。

在上图中，我们得到一条直线，它在两个轴（x 轴和 y 轴）上形成 45° 角。在恒等函数的图中，斜率始终保持为 1。

恒等函数的性质

在一个函数中，如果我们想返回参数的确切值，在这种情况下，就会使用恒等函数。我们不应该混淆零函数、空函数或恒等函数，因为它们之间有很大的区别。在恒等函数中，描述了一些重要的性质如下：

• 如果涉及向量空间的应用，那么恒等函数将是一个线性算子。
• 如果涉及正整数，它将是一个乘法函数。
• 恒等函数是一种实值线性函数。
• 该函数的图与其反函数相等。
• 如果 m 维向量空间存在，恒等函数将表示为单位矩阵 I_m。
• 在拓扑空间的情况下，此函数始终是连续的。

重要说明

研究恒等函数时，需要牢记一些要点，如下所示：

• 对于恒等函数，值域和定义域是相似的。
• 在恒等函数的图中，斜率始终保持为 1。

恒等函数的例子

有很多恒等函数的例子。其中一些如下：

示例 1：在此示例中，如果 g(y) = (2y + 3) / (3y - 2)，则必须证明 g ◦ g 是恒等函数。

解答：这里 g(y) = (2y + 3) / (3y - 2)

g ◦ g(y) = g(g(y)) = g((2y + 3) / (3y - 2))

= (4y + 6 + 9y - 6) / (6y + 9 - 6y + 4)

= 13y / 13

= y

因此 g ◦ g(y) = y。所以我们可以说 g ◦ g(y) 是恒等函数。

示例 2：在此示例中，必须证明 f(2x) = 2x 是恒等函数。

解答：这里，f(2x) = 2x

现在我们将像这样将 x 的值代入上述函数：

如果 x = 1，则函数为：

f(2(1)) = 2(1)

f(2) = 2

如果 x = 2，则函数为：

f(2(2)) = 2(2)

f(4) = 4

如果 x = 3，则函数为：

f(2(3)) = 2(3)

f(6) = 6

现在我们将像这样尝试一些负数 x 的值并代入函数：

如果 x = -1，则函数为：

f(2(-1)) = 2(-1)

f(-2) = -2

如果 x = -2，则函数为：

f(2(-2)) = 2(-2)

f(-4) = -4

如果 x = -3，则函数为：

f(2(-3)) = 2(-3)

f(-6) = -6

现在我们将为上述所有 x 值创建一个表格：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = f(x)	-6	-4	-2	0	2	4	6

现在我们将像这样为所有这些值绘制一个图：

在上图中，我们可以看到函数 f(2x) = 2x 绘制了一条直线。因此，该函数是恒等函数。

示例 3：在此示例中，我们将考虑一个恒等函数的值域，其中一个集合的元素总数为 9 个。现在我们必须从以下选项中选择该范围：

1. 3²
2. 3⁴
3. 3⁸
4. 3¹⁶

解答：在所有选项中，第一个选项 (3²) 是正确的选项。我们知道，如果给定的元素与其自身相关，则它将被称为恒等函数，即 g(x) = x。因此，如果一个集合中有 9 个元素，那么该函数的值域也将是 9，而 3² = 9。因此，范围 3² 包含总共 9 个元素。

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