乘法的分配律

分配律指出，如果我们用一个数字乘以一组相加/相减的数字，那么如果分别进行乘法运算，其结果将是相同的。

因此，两种方法的计算结果是相同的。

分配律是离散数学中最常用的定律之一。还有两个重要的定律是结合律和交换律。借助数学中存在的各种性质，我们可以轻松地简化算术计算以及代数表达式。在本节中，我们将学习一项性质，即分配性质。分配律很容易记住。我们将学习分配律的定义、公式和各种示例。

分配律定义

分配律是一种代数定律。在分配律中，我们用一个数乘以括号内两个或两个以上数字。根据此定律，当一个因子乘以两个项的和时，必须将每个项乘以该因子，然后进行加法运算。用符号形式表示，分配律如下：

此处 X、Y 和 Z 用于表示三个不同的值。

为了理解这一点，我们将举一个简单的例子，即 9 (5 + 1)。

我们可以看到二项式“5 + 1”在括号内。运算顺序规定我们先计算 5 + 1 的值，然后将其乘以 9。乘法后，我们将得到结果值 54。

带变量的分配律

为了理解这一点，我们将举一个例子：5(6 + 8x)

在此示例中，我们可以看到括号包含两个值，由于这些值不是同类项，因此无法相加。因此，我们无法进一步简化。为此，我们需要一种不同的方法。此时，我们可以使用分配律。因此，如果我们应用分配律，我们将得到以下结果：

在这里，我们可以看到括号不再存在，数字 5 与每个项相乘。

现在我们将像这样简化每个项的乘法：

借助乘法分配律，我们能够简化涉及将一个数字乘以差或和的表达式。该定律指出，数字的和/差的乘积等于各项乘积的和/差。在离散数学中，我们可以对两种算术运算使用分配律，它们描述如下：

1. 除法分配律
2. 乘法分配律

乘法的分配律

我们只能使用加法和减法来表示乘法分配律。根据此性质，运算存在于括号内。这意味着括号内部以及数字之间必须有一个加号或减号。现在我们将分别在分配律中理解加法和减法。

1. 乘法对加法的分配律

当我们要将一个值乘以一个和时，在这种情况下，我们将应用乘法对加法的分配性质。例如：在这里，我们将数字 7 乘以 9 + 4 的和。

有两种情况可以执行乘法对加法的分配：

情况 1：在第一种情况下，我们将先对数字进行加法。之后，我们将已加的数字乘以 5。因此：

情况 2：在第二种情况下，我们将先计算括号内的值。这意味着我们将先将每个数字乘以 5。这可以称为 5 的分配，然后我们将相加乘积。

因此，在进行加法之前，我们将像这样执行 7(9) 和 7(4) 的乘法：

我们可以看到两种方法的计算结果是相同的。

两种方法通过以下方程进行详细描述。在 LHS（左侧）中，先将数字 9 和 4 相加，然后乘以 5。右侧表达式通过应用分配律进行重写，其中我们先分配 5，然后将它们乘以 5，最后，我们将结果相加。在结果中，我们将看到两侧的结果是相同的。

2. 乘法对减法的分配律

当我们要将一个值乘以一个差时，在这种情况下，我们将应用乘法对减法的分配性质。例如：在这里，我们将数字 5 乘以 10 和 3 的差，即 (10 - 3)。

有两种情况可以执行乘法对减法的分配：

情况 1：在第一种情况下，我们将先对数字进行减法。之后，我们将已减的数字乘以 7。因此：

情况 2：在第二种情况下，我们将先计算括号内的值。这意味着我们将先将每个数字乘以 7。这可以称为 7 的分配，然后我们将相减乘积。

我们可以看到两种情况的计算结果是相同的。

我们也可以使用加法和减法的分配律来重写表达式以达到不同的目的。当我们要将一个数乘以一个和时，这意味着我们可以先进行加法，然后进行乘法。我们也可以先将每个加数相乘，然后将乘积相加。同样的过程也可以应用于减法。在所有情况下，我们都会将外部乘数分配到括号内的每个值，以便在加法或减法之前，乘法可以与每个值发生。

除法分配律

通过分配律将大数分解为更小的因子。我们将通过一个例子来理解这一点，该例子如下：

示例：在此示例中，我们必须将 84 除以 6。

解：数字 84 可以写成 60 + 24。

因此，84 / 6 可以写成：

(60 + 24) / 6

现在我们将对上述括号中的每个因子应用分配除法运算，然后我们将得到以下结果：

(60 / 6) + (24 / 6)

= 10 + 4

= 14

分配律示例

分配律有各种示例，如下所述：

示例 1：在此示例中，我们必须使用分配律求解表达式 4 * (2x⁴ + 7x)。

解：根据分配律：

X * (Y + Z) = XY + XZ

代入值后，我们将得到以下结果：

4 * (2x⁴ + 7x) = 4 * 2x⁴ + 4 * 7x

= 8x⁴ + 28x

示例 2：在此示例中，我们必须使用分配律求解表达式 4 * (8xy + 12yx)。

解：根据分配律：

X * (Y + Z) = XY + XZ

代入值后，我们将得到以下结果：

4 * (8xy + 12yx) = 4 * 8xy + 4 * 12yx

= 32xy + 48 xy

= 80xy

示例 3：在此示例中，我们必须使用分配律求解表达式 5 * (20 - 8)。

解：根据分配律：

X * (Y - Z) = XY - XZ

代入值后，我们将得到以下结果：

5 * (20 - 8) = 5 * 20 - 5 * 8

= 100 - 40

= 60

示例 4：在此示例中，我们必须使用分配律求解表达式 6x * (x³ + y)。

解：根据分配律：

X * (Y + Z) = XY + XZ

代入值后，我们将得到以下结果：

6x * (x³ + y) = 6x * x³ + 6x * y

= 6x⁴ + 6xy

为什么不能进行除法和乘法

我们不能对乘法进行乘法对除法和乘法的分配律。现在我们将通过一些例子来理解这一点，这些例子如下：

乘法对乘法的分配律

假设有三个整数 5、9 和 3。现在我们假设我们可以将分配律应用于乘法。因此，必须满足此条件：

我们将通过先将括号内的数字相乘，然后将相乘的数字乘以 5 来求解此表达式。因此，我们将得到以下结果：

5 (4 * 8) = 5 * 32

= 160

现在我们将先计算括号内的值。这意味着我们将每个数字乘以 5。然后，我们将执行乘法运算。

(5 * 4) * (5 * 8)

= 20 * 40

= 800

我们可以看到两个结果不相同。

因此，证明了乘法分配律不能应用于乘法。

乘法对除法的分配律

假设有三个整数 5、9 和 3。现在我们假设我们可以将分配律应用于除法。因此，必须满足此条件：

我们将通过先对数字进行除法，然后将除数乘以 5 来求解此表达式。因此，我们将得到以下结果：

5 (9 / 3) = 5 * 3

= 15

现在我们将先计算括号内的值。这意味着我们将每个数字乘以 5。然后，我们将执行除法运算。

(5 * 9) / (5 * 3)

= 45 / 15

= 3

我们可以看到两个结果不相同。

因此，证明了乘法对除法和乘法的分配律不能应用。