二元运算的性质

二元运算有很多性质，如下所示

1. 封闭性: 考虑一个非空集合A和A上的二元运算 * 。如果在运算 * 下是封闭的，则 a * b ∈ A，其中 a 和 b 是 A 的元素。

例1: 整数集合上的加法运算是封闭运算。

例2: 考虑集合 A = {-1, 0, 1}。 确定 A 在以下运算下是否封闭

1. 加法
2. 乘法

解决方案

(i)元素的和是 (-1) + (-1) = -2 并且 1+1=2 不属于 A。 因此 A 在加法下不封闭。

(ii)集合中每两个元素的乘法是

由于每个乘法都属于 A，因此 A 在乘法下是封闭的。

2. 结合律: 考虑一个非空集合A和A上的二元运算 * 。如果对于每个 a, b, c, ∈ A，都有 (a * b) * c = a* (b*c)，则 A 上的运算 * 是结合律。

例: 考虑有理数集合 Q 上的二元运算 *，定义为 a * b = a + b - ab ∀ a, b ∈ Q。

确定 * 是否是结合律。

解答: 假设一些元素 a, b, c ∈ Q, 然后根据定义

类似地，我们有
              a * (b * c) = a + b + c - ab - ac -bc + abc

因此，         (a * b) * c = a * (b * c)

因此，* 具有结合律。

3. 交换律: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 * 。如果对于每个 a, b, ∈ A，都有 a * b = b * a，则 A 上的运算 * 是交换律。

例: 考虑有理数集合 Q 上的二元运算 *，定义为 a * b = a²+b² ∀ a,b∈Q。

确定 * 是否是交换律。

解答: 假设一些元素 a, b, ∈ Q, 然后根据定义

因此，* 具有交换律。

4. 恒等: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 * 。 如果存在一个元素 e 在 A 中，使得 a * e (右恒等) = e * a (左恒等) = a ∀ a ∈ A，则运算 * 具有恒等性。

例: 考虑 I₊ 上的二元运算 *，正整数集合定义为 a * b =

确定二元运算 * 的恒等式（如果存在）。

解答: 假设 e 是一个正整数，那么

              e * a, a ∈ I₊
              = a, e = 2...............公式 (i)

类似地，         a * e = a, a ∈ I₊
              =2 或 e=2...........公式 (ii)

从公式 (i) 和 (ii) 对于 e = 2，我们有 e * a = a * e = a

因此，2 是 * 的恒等元素。

5. 逆元: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 *。如果对于每个 a ∈A，都存在一个元素 b 在 A 中，使得 a * b (右逆元) = b * a (左逆元) = e，其中 b 被称为 a 的逆元，则运算具有逆元性质。

6. 幂等性: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 *。如果对于每个 a ∈A，我们都有 a * a = a ∀ a ∈A，则运算 * 具有幂等性。

7. 分配律: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 *。如果对于每个 a, b, c ∈A，我们都有
                            a * (b + c) = (a * b) + (a * c)         [左分配律]
                            (b + c) * a = (b * a) + (c * a)         [右分配律]

8. 消去律: 考虑一个非空集合 A 和 A 上的二元运算 *。如果对于每个 a, b, c ∈A，我们都有
                            a * b = a * c ⇒ b = c         [左消去律]
                            b * a = c * a ⇒ b = c         [右消去律]