离散数学中的逻辑等价律

假设有两个复合命题X和Y，当且仅当它们的真值表在各自的列中包含相同的真值时，它们被称为逻辑等价。我们可以使用符号 = 或 ⇔ 来表示逻辑等价。因此，X = Y 或 X ⇔ Y 将是这些命题的逻辑等价。

根据逻辑等价的定义，我们已经清楚，如果复合命题X和Y是逻辑等价的，那么X ⇔ Y必须是重言式（恒真命题）。

逻辑等价律

在本节中，我们将使用“AND”和“OR”符号来解释逻辑等价律。这里，AND用符号∧表示，OR用符号∨表示。逻辑等价有多种定律，描述如下：

幂等律

在幂等律中，我们只使用一个命题。根据此定律，如果我们用符号∧（与）和∨（或）将两个相同的命题组合起来，则结果命题将是它本身。假设有一个复合命题P。以下符号用于表示幂等律：

此定律的真值表如下所示：

该表在 P、P ∨ P 和 P ∧ P 的列中包含相同的真值。

因此，我们可以说 P ∨ P = P 且 P ∧ P = P。

交换律

使用两个命题来表示交换律。根据此定律，如果我们用符号∧（与）或∨（或）将两个命题组合起来，则改变命题的位置，结果命题将保持不变。假设有两个命题P和Q。当P和Q都为假时，这些命题的命题为假。在所有其他情况下，它将为真。以下符号用于表示交换律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ Q 和 Q ∨ P 的列中包含相同的真值。

因此，我们可以说 P ∨ Q ? Q ∨ P。

同理，我们可以证明 P ∧ Q ? Q ∧ P。

结合律

使用三个命题来表示结合律。根据此定律，如果我们用括号和符号∧（与）或∨（或）组合三个命题，则即使改变括号的顺序，结果命题也将保持不变。这意味着此定律独立于分组或联结。假设有三个命题P、Q和R。当P、Q和R都为假时，这些命题的命题为假。在所有其他情况下，它将为真。以下符号用于表示结合律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ (Q ∨ R) 和 (P ∨ Q) ∨ R 的列中包含相同的真值。

因此，我们可以说 P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R。

同理，我们可以证明 P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R

分配律

使用三个命题来表示分配律。根据此定律，如果我们用∨（OR）符号将一个命题与两个用∧（AND）符号连接的命题组合起来，则结果命题将与分别用∨（OR）符号组合命题并将组合后的命题用∧（AND）符号连接的结果保持不变。假设有三个命题P、Q和R。以下符号用于表示分配律：

P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ (Q ∧ R) 和 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 的列中包含相同的真值。

因此，我们可以说 P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

同理，我们可以证明 P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

同一律

使用单个命题来表示同一律。根据此定律，如果我们用∨（或）符号将一个命题与一个真值组合起来，它将生成真值。如果我们用∧（与）符号将一个命题与一个假值组合起来，它将生成命题本身。同样，我们将用相反的符号来做。这意味着如果我们用∧（与）符号将一个命题与一个真值组合起来，它将生成命题本身，如果我们用∨（或）符号将一个命题与一个假值组合起来，它将生成假值。假设有一个复合命题P，一个真值T和一个假值F。以下符号用于表示同一律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ T 和 T 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∨ T = T。同样，该表在 P ∨ F 和 P 的列中也包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∨ F = P。

同理，我们可以证明 P ∧ T ? P 且 P ∧ F ? F

否定律

在补律中使用的单个命题。根据此定律，如果我们用∨（或）符号将一个命题与其补命题组合起来，它将生成真值；如果我们用∧（与）符号将这些命题组合起来，它将生成假值。如果我们否定一个真值，它将生成一个假值；如果我们否定一个假值，它将生成一个真值。

以下符号用于表示补律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ ¬P 和 T 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∨ ¬P = T。同样，该表在 P ∧ ¬P 和 F 的列中也包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∧ ¬P = F。

该表在 ¬T 和 F 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 ¬T = F。同样，该表在 ¬F 和 T 的列中也包含相同的真值。因此，我们可以说 ¬F = T。

双重否定律或对合律

使用单个命题来表示双重否定律。根据此定律，如果我们对一个否定命题进行否定，则结果命题将是命题本身。假设有一个命题 P 和一个否定命题 ¬P。以下符号用于表示双重否定律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 ¬(¬P) 和 P 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 ¬(¬P) = P。

德摩根定律

使用两个命题来表示德摩根定律。根据此定律，如果我们用∧（AND）符号组合两个命题，然后对这些组合的命题进行否定，则结果命题将与分别用∨（OR）符号组合这两个命题的否定相同。假设有两个复合命题 P 和 Q。以下符号用于表示德摩根定律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 ¬(P ∧ Q) 和 ¬ P ∨ ¬Q 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q。

同理，我们可以证明 ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q

吸收律

使用两个命题来表示吸收律。根据此定律，如果我们用∨（OR）符号将命题 P 与另一个命题 Q（它们与符号∧（AND）连接）的相同命题 P 组合起来，则结果命题将是第一个命题 P。如果互换符号，将产生相同的结果。假设有两个复合命题 P 和 Q。以下符号用于表示吸收律：

这些符号的真值表如下所示：

该表在 P ∨ (P ∧ Q) 和 P 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∨ (P ∧ Q) ? P。

同理，该表在 P ∧ (P ∨ Q) 和 P 的列中也包含相同的真值。因此，我们可以说 P ∧ (P ∨ Q) ? P。

逻辑等价的例子

逻辑等价的例子有很多。其中一些描述如下：

示例 1： 在这个例子中，我们将建立一个命题的等价性质，描述如下：

p → q ? ¬p ∨ q

解决方案

我们将通过一个真值表来证明这一点，如下所示：

该表在 p → q 和 ¬p ∨ q 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 p → q ? ¬p ∨ q。

示例 2： 在这个例子中，我们将建立一个命题的等价性质，描述如下：

P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P)

解决方案

该表在 P ↔ Q 和 (P → Q) ∧ (Q → P) 的列中包含相同的真值。因此，我们可以说 P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P)。

示例 3： 在这个例子中，我们将使用等价性质来证明以下命题：

p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q)

解决方案

为了证明这一点，我们将使用上面描述的一些定律，并且从这个定律我们有：

p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)

现在我们将交换律应用于上述方程，得到以下结果：

? (¬ p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

现在我们将分配律应用于此方程，得到以下结果：

? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))

现在我们将分配律应用于此方程，得到以下结果：

? (¬ p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)

现在我们将补律应用于此方程，得到以下结果：

? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F

现在我们将同一律应用于此方程，得到以下结果：

? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)

现在我们将交换律应用于此方程，得到以下结果：

? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)

最后，方程 (1) 变为以下形式：

p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)

最后，我们可以说方程 (1) 变为 p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)