条件和双条件连通性

要理解条件和双条件连接，我们应该回顾上一节，即离散数学中的逻辑连接词。

逻辑连接

逻辑连接可以描述为用于连接一个或多个命题或谓词逻辑的运算符。命题逻辑包含 5 个基本连接词，如下所述：

1. 取反
2. 连词
3. 析取
4. 条件
5. 双条件

在本节中，我们将学习有关蕴含和双蕴含的一些重要公式、性质、结果和证明。我们还将学习如何将英语句子转换为命题逻辑。

条件命题

条件命题也称为蕴含命题。假设有两个命题 x 和 y。条件命题的形式为“如果 x 则 y”。条件命题具有一些属性，如下所示：

• 如果两个命题 x 和 y 都为真，或者 x 为假，在这种情况下，它们的命题都为真。
• 如果 x 为真且 y 为假，在这种情况下，它们的命题为假。

真值表

条件命题具有以下真值表：

x → y 的意义

我们可以按以下方式解释 x → y：

• 如果 x 则 y
• X 蕴含 y
• X 仅当 y
• X 当且仅当 y
• X 是 y 的充分条件
• X 无 y 是可能的，并且可以存在
• y 是 x 的必要条件。
• y 从 x 推导出来
• X 无 y 是不可能的，也不能存在。
• y 总是 x

公式

当遇到有关条件命题的问题时，我们应该记住一些要点，如下所示：

• 可以将 x → y 替换为 ∼x ∨ y。
• x → y 等价于 ∼y → ∼x。

条件命题的证明

x → y 与 ∼x ∨ y 的逻辑等价性可以通过以下表格显示：

另外，

x → y 与 ∼x ∨ y 的逻辑等价性也可以通过以下推导显示：

双条件命题

双条件也称为双蕴含命题。假设有两个命题 x 和 y。双条件命题的形式为“x 当且仅当 y”。双条件命题具有一些属性，如下所示：

• 如果两个命题 x 和 y 都为真，或者 x 和 y 都为假，在这种情况下，它们的命题都为真。
• 在所有其他情况下，x 和 y 的命题都为假。

真值表

双条件命题具有以下真值表：

x ↔ y 的意义

我们可以按以下方式解释 x ↔ y：

• (如果 x 则 q) 且 (如果 y 则 x)
• x 当且仅当 y
• x 和 y 等价
• (x 当 y) 且 (y 当 x)
• ∼x 和 ∼y 等价
• y 当且仅当 x
• X 和 Y 不能互相存在
• X 是 Y 的必要且充分条件
• 要么 x 和 y 都存在，要么都不存在
• Y 是 X 的必要且充分条件
• X 和 Y 互为必要且充分条件

公式

当遇到有关条件命题的问题时，我们应该记住一些要点，如下所示：

• 可以将 x ↔ y 替换为 (x ∧ y) ∨ (∼x ∧ ∼y)。
• x ↔ y 等价于 EX-NOR 门。

条件命题的证明

x ↔y 和 (x ∧ y) ∨ (∼x ∧ ∼y) 的逻辑等价性可以通过以下表格显示：

将英语句子转换为命题逻辑

当我们尝试解决问题时，需要进行一些替换，如下所示：

现在，我们将通过解决下面的一些问题来理解如何转换英语句子。

转换英语句子的问题示例

在这里，我们将用符号形式写出英语句子。这些句子如下所示：

1. 如果外面阳光明媚，我就去上学。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“如果外面阳光明媚，我就去上学。”

这个陈述必须采用“如果 x 则 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：外面阳光明媚

Y：我去上学

2. 如果我努力学习，我考试就会取得好成绩。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“如果我努力学习，我考试就会取得好成绩。”

这个陈述必须采用“如果 x 则 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：我努力学习

Y：我考试会取得好成绩

3. 他很勤奋，但没有取得好成绩。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“他很勤奋，但没有取得好成绩。”

在这个陈述中，“但”可以替换为“和”。

替换后，句子将变为：“他很勤奋，并且没有取得好成绩。”

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x ∧ y，其中：

X：他很勤奋

Y：他没有取得好成绩

4. 如果 x = y 且 y = z，则 x = z。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“如果 x = y 且 y = z，则 x = z。”

这个陈述必须采用“如果 x 则 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 (x ∧ y) → z，其中：

x：x = y

y：y = z

z：x = z

5. 哈里和杰克都不对此错误负责。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“哈里和杰克都不对此错误负责。”

这个陈述必须采用“既不 x 也不 y”的形式。

我们可以将“既不 x 也不 y”改写为另一种方式，即“非 x 且非 y”。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 ∼x ∧ ∼y，其中：

X：哈里对此错误负责

Y：杰克对此错误负责

6. 只有当出太阳时，我才会去海滩。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只有当出太阳时，我才会去海滩。”

这个陈述必须采用“x 当且仅当 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x ↔ y，其中：

X：我去海滩

Y：出太阳

7. 只有当杰克来的时候，我才会去办公室。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只有当杰克来的时候，我才会去办公室。”

这个陈述必须采用“x 当且仅当 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x ↔ y，其中：

X：我去办公室

Y：杰克来的时候

8. 只有下雨我才待在家里。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只有下雨我才待在家里。”

这个陈述必须采用“x 仅当 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：我待在家里

Y：外面正在下雨

9. 如果外面下雨，我就会待在家里。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“如果外面下雨，我就会待在家里。”

这个陈述必须采用“y 当 x”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：外面正在下雨

Y：我待在家里

10. 他勤奋但没有取得好成绩，这是错误的。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“他勤奋但没有取得好成绩，这是错误的。”

在这个陈述中，“但”可以替换为“和”。

替换后，句子将变为：“他勤奋并且没有取得好成绩，这是错误的。”

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 ∼(x ∧ ∼y)，其中：

X：他很勤奋

Y：他取得好成绩

11. 他勤奋或聪明但没有取得好成绩，这是错误的。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“他勤奋或聪明但没有取得好成绩，这是错误的。”

在这个陈述中，“但”可以替换为“和”。

替换后，句子将变为：“他勤奋并且没有取得好成绩，这是错误的。”

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 ∼((x ∨ y) ∧ ∼z)，其中：

X：他很勤奋

Y：他聪明

Z：他取得好成绩

12. 除非我的朋友们来，否则我不会信守诺言。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“除非我的朋友们来，否则我不会信守诺言。”

这个陈述必须采用“x 除非 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 ∼y → x，其中：

X：我会信守诺言

Y：我的朋友们来了

13. 只要我的朋友来，我就会去上学。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只要我的朋友来，我就会去上学。”

在这个陈述中，“只要”可以替换为“如果”。

替换后，句子将变为：“如果我的朋友来了，我就会去上学。”

这个陈述必须采用“y 当 x”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：我的朋友们来了

Y：我去上学

14. 要么你离开，要么我会告诉我父母。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“要么你离开，要么我会告诉我父母。”

我们可以将此陈述改写为：“你离开，或者我会告诉我父母”。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x ∨ y，其中：

X：你离开

Y：我会告诉我父母

15. 只有当你努力学习时，你才能获得 A 级。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只有当你努力学习时，你才能获得 A 级。”

这个陈述必须采用“x 仅当 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：你将获得 A 级

Y：你努力学习

16. 空气是人类生命的必要且充分条件。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“空气是人类生命的必要且充分条件。”

这个陈述必须采用“x 是 y 的必要且充分条件”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x ↔ y，其中：

X：空气

Y：人类生命

17. 四边形桌子是其成为正方形的必要条件，但非充分条件。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“四边形桌子是其成为正方形的必要条件，但非充分条件。”

这个陈述必须采用“x 是 y 的必要条件但非充分条件”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 (y → x) ∧ ∼(x → y)，其中：

X：有四边的桌子

Y：其成为正方形

18. 只有当外面下雨时，我才会带伞。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“只有当外面下雨时，我才会带伞。”

这个陈述必须采用“x 仅当 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

X：我会带伞

Y：外面正在下雨

19. 杰克和他的女朋友都不谈论他的婚礼。

解决方案

我们有以下详细信息：

给出的陈述是：“杰克和他的女朋友都不谈论他的婚礼。”

这个陈述必须采用“既不 x 也不 y”的形式。

我们可以将此陈述改写为：“非 x 且非 y”的形式。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 ∼x ∧ ∼y，其中：

X：杰克谈论他的婚礼

Y：他的女朋友谈论他的婚礼

逻辑连接示例

示例 1：在此示例中，我们有两个陈述 S1 和 S2，其中：

陈述 1 (S1)：90% 的分数足以通过分数线。

陈述 2 (S2)：90% 的分数是通​​过分数线的必要条件。

现在我们需要确定哪些陈述在逻辑上是正确的？

1. S1 正确，S2 错误
2. S1 错误，S2 正确
3. 两者都正确
4. 两者都错误

解决方案

S1：90% 的分数足以通过分数线。

上述陈述包含“x 是 y 的充分条件”的形式，其中：

X：你获得 90% 的分数

Y：你可以通过分数线。

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

如果 x → y 包含以下真值表，则成立：

此处，

• 根据第 2 行，你可能获得了 90% 的分数并且可以通过分数线。
• 然而，在没有获得 90% 的分数的情况下通过分数线是不可能的。
• 根据第 3 行，你获得 90% 的分数但未通过分数线是不可能的。
• 然而，有可能你获得 90% 的分数但未通过分数线。
• 所以，上述真值表不适用。

因此，陈述 S1 - “90% 的分数足以通过分数线”在逻辑上是不正确的。

S2：90% 的分数是通​​过分数线的必要条件。

上述陈述包含“x 是 y 的必要条件”的形式，其中：

X：你可以通过分数线

Y：你获得 90% 的分数

所以，这个陈述包含一个符号形式，即 x → y，其中：

如果 x → y 包含以下真值表，则成立：

在上面的真值表中，所有行都有正确的含义。

因此，陈述 S2 - “90% 的分数是通​​过分数线的必要条件”在逻辑上是正确的。

因此，选项 (B) 是正确的。