离散数学中命题的性质

如果我们想了解命题的性质，我们需要参考我们之前的文章《命题》。这里我们将简要介绍命题。

命题

命题可以被描述为陈述句，这些陈述句可以是真的或假的，但不能既真又假。命题可以通过连接词组合起来。在本节中，我们将学习离散数学中命题的性质。

确定命题的性质

这里有一个复合命题，我们将找出所给命题的性质，其描述如下：

1. 重言式
2. 矛盾
3. 应急措施
4. 有效
5. 无效
6. 可证伪的（Falsifiable）
7. 不可证伪的（Unfalsifiable）
8. 可满足的（Satisfiable）
9. 不可满足的（Unsatisfiable）

现在我们将逐一学习所有这些命题。

重言式

当命题变量的所有可能真值只包含真（T）时，复合命题被称为重言式（tautology）。在重言式的真值表中，最后一列只包含真（T）。

矛盾

当命题变量的所有可能真值只包含假（F）时，复合命题被称为矛盾式（contradiction）。在矛盾式的真值表中，最后一列只包含假（F）。

应急措施

当复合命题既不是矛盾式也不是重言式时，它被称为偶然式（contingency）。这意味着命题变量的所有可能真值将同时包含假（F）和真（T）。在偶然式的真值表中，最后一列同时包含 T 和 F。

有效

当复合命题是重言式时，它被称为有效命题（valid proposition）。在有效命题的真值表中，最后一列只包含 T（真）。

无效

当复合命题不是重言式时，它被称为无效命题（invalid proposition）。这意味着命题变量的所有可能真值将只包含 F（假）或同时包含 T（真）和 F（假）。在无效命题的真值表中，最后一列要么只包含 F，要么同时包含 T 和 F。

可证伪的（Falsifiable）

当命题变量的某些值可以产生假值时，复合命题被称为可证伪的（falsifiable）。在可证伪命题的真值表中，最后一列可以包含 F 或同时包含 T 和 F。

不可证伪的（Unfalsifiable）

当命题变量的任何值都不能产生假值时，复合命题被称为不可证伪的（unfalsifiable）。在不可证伪命题的真值表中，最后一列只能包含 T（真）。

可满足的（Satisfiable）

当命题变量的某些值可以产生真值时，复合命题被称为可满足的（satisfiable）。在可满足命题的真值表中，最后一列可以包含 T 或同时包含 T 和 F。

不可满足的（Unsatisfiable）

当命题变量的任何值都不能产生真值时，复合命题被称为不可满足的（unsatisfiable）。在不可满足命题的真值表中，最后一列只能包含 F（假）。

重要提示

在学习命题性质时，我们需要了解一些重要的点，描述如下：

• 所有矛盾式也都是可证伪的和无效的，但反之则不可能。
• 所有偶然式也都是可证伪的和无效的，但反之则不可能。
• 所有重言式也都是不可证伪的和有效的，并且反之亦然。
• 所有重言式也都是可满足的，但反之则不可能。
• 所有偶然式也都是可满足的，但反之则不可能。
• 所有矛盾式也都是不可满足的，并且反之亦然。

找出命题性质的例子

有各种例子可以确定命题的性质，如下所示：

例 1： 在此示例中，我们有各种命题，我们必须确定它们的性质。

1. x ∧ ∼x
2. (x ∧ (x → y)) → ∼y
3. [ (x → y) ∧ (y → z) ] ∧ (x ∧ ∼z)
4. ∼(x → y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y))
5. (x ↔ z) → (∼y → (x ∧ z))

解决方案

这里我们将逐一解决所有这些命题，如下所示：

第一部分

我们可以通过三种方法解决命题 x ∧ ∼x，如下所示：

方法 1： 在此方法中，我们将使用真值表，如下所示：

在上面的真值表中，我们可以看到最后一列只包含假值（F）。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 矛盾
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 无效

方法 2： 在此方法中，我们将使用命题代数，如下所示：

如我们所知，给定的命题是 x ∧ ∼x。

当我们对此命题应用补码律时，我们将得到 x ∧ ∼x = F。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 矛盾
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 无效

方法 3： 在此方法中，我们将使用数字电子学

在数字电子学中，我们可以将给定的命题写为 x.x'。

显然，我们可以说 x.x' = 0。

因此，这个命题可以是

• 无效
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 矛盾
• 可证伪的（Falsifiable）

第二部分

我们可以通过三种方法解决 (x ∧ (x → y)) → ∼y，如下所示：

方法 1： 在此方法中，我们将使用真值表，如下所示：

在上面的真值表中，我们可以看到最后一列同时包含假值（F）和真值（T）。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 应急措施
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效

方法 2： 在此方法中，我们将使用命题代数，如下所示：

(x ∧ (x → y)) → ∼y

= (x ∧ (∼x ∨ y)) → ∼y {∵ x → y = ∼x ∨ y}

= ∼(x ∧ (∼x ∨ y)) ∨ ∼y {∵ x → y = ∼x ∨ y}

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ∼((x ∧ ∼x) ∨ (x ∧ y)) ∨ ∼y

现在我们将使用补码律，如下所示：

= ∼(F ∨ (x ∧ y)) ∨ ∼y

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= ∼(x ∧ y) ∨ ∼y

现在我们将使用德摩根定律，如下所示：

= ∼x ∨ ∼y ∨ ∼y

= ∼x ∨ ∼y

显然，我们可以看到结果既不是 T 也不是 F。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 应急措施
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效

方法 3： 在此方法中，我们将使用数字电子学

我们有以下内容：

= (x ∧ (x → y)) → ∼y

= (x ∧ (∼x ∨ y)) → ∼y {∵ x → y = ∼x ∨ y}

= ∼(x ∧ (∼x ∨ y)) ∨ ∼y {∵ x → y = ∼x ∨ y}

现在我们有以下数字电子学方面的表达式：

= (x. (x' + y))' + y'

= (x.x' + x.y)' + y'

= (x.y)' + y' {∵ x.x' = 0}

现在我们将使用德摩根定律，如下所示：

= x' + y' + y'

= x' + y'

显然，我们可以说结果既不是 0 也不是 1。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 应急措施
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效

第三部分

我们可以通过三种方法解决 [(x → y) ∧ (y → z)] ∧ (x ∧ ∼z)，如下所示：

方法 1： 在此方法中，我们将使用真值表，如下所示：

这里我们假设 [(x → y) ∧ (y → z)] ∧ (x ∧ ∼z) = R (设)

在上面的真值表中，我们可以看到最后一列只包含假值（F）。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 矛盾
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 无效

方法 2： 在此方法中，我们将使用命题代数。

我们有以下内容：

[(x → y) ∧ (y → z)] ∧ (x ∧ ∼z)

= [ (∼x ∨ y) ∧ (∼y ∨ z) ] ∧ (x ∧ ∼z) {∵ x → y = ∼x ∨ y}

现在我们将使用分配律，如下所示：

= [((∼x ∨ y) ∧ ∼y) ∨ ((∼x ∨ y) ∧ z)] ∧ (x ∧ ∼z)

现在我们将再次使用分配律，如下所示：

= [((∼x ∧ ∼y) ∨ (y ∧ ∼y)) ∨ ((∼x ∧ z) ∨ (y ∧ z))] ∧ (x ∧ ∼z)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= [((∼x ∧ ∼y) ∨ F) ∨ ((∼x ∧ z) ∨ (y ∧ z))] ∧ (x ∧ ∼z)

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= [(∼x ∧ ∼y) ∨ (∼x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] ∧ (x ∧ ∼z)

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ((∼x ∧ ∼y) ∧(x ∧ ∼z)) ∨ ((∼x ∧ z) ∧(x ∧ ∼z)) ∨ ((y ∧ z) ∧ (x ∧ ∼z))

= (∼x ∧ ∼y ∧ x ∧ ∼z) ∨ (∼x ∧ z ∧ x ∧ ∼z) ∨ (y ∧ z ∧ x ∧ ∼z)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= F ∨ F ∨ F

= F

显然，我们可以说这个命题的结果是 F。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 矛盾
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 无效

方法 3： 在此方法中，我们将使用数字电子学

我们有以下内容：

[(x → y) ∧ (y → z)] ∧ (x ∧ ∼z)

= [(∼x ∨ y) ∧ (∼y ∨ z) ] ∧ (x ∧ ∼z) {∵x→ y = ∼x ∨ y}

现在我们有以下数字电子学方面的表达式：

= [(x' + y) . (y' + z) ] . (x.z')

= [x'. y' + x'.z + y.y' + y.z] . (x.z')

= [x'.y' + x'.z + 0 + y.z] . (x.z') {∵ y.y' = 0}

= [x'.y' + x'.z + y.z] . (x.z')

= x'.y'.x.z' + x'.z.x.z' + y.z.x.z'

= 0 + 0 + 0

= 0

显然，我们可以说结果是 0。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 矛盾
• 不可满足的（Unsatisfiable）
• 无效

第四部分

我们可以通过三种方法解决 ∼(x → y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y))，如下所示：

方法 1： 在此方法中，我们将使用真值表，如下所示：

这里我们假设 ∼(x → y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y)) = R (设)

在上面的真值表中，我们可以看到最后一列只包含真值（T）。

因此，这个命题可以是

• 不可证伪的（Unfalsifiable）
• 重言式
• 可满足的（Satisfiable）
• 有效

方法 2： 在此方法中，我们将使用命题代数。

我们有以下内容：

∼(x → y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y))

= ∼(∼x ∨ y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y)) {∵ x → y = ∼x ∨ y}

现在我们将使用德摩根定律，如下所示：

= (x ∧ ∼y) ∨ (∼x ∨ (x ∧ y))

现在我们将使用分配律，如下所示：

= (x ∧ ∼y) ∨ ((∼x ∨ x) ∧ (∼x ∨ y))

现在我们将使用补码律，如下所示：

= (x ∧ ∼y) ∨ (T ∧ (∼x ∨ y))

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= (x ∧ ∼y) ∨ (∼x ∨ y)

现在我们将使用结合律，如下所示：

= ((x ∧ ∼y) ∨ ∼x) ∨ y

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ((x ∨ ∼x) ∧ (∼y ∨ ∼x)) ∨ y

现在我们将使用补码律，如下所示：

= (T ∧ (∼y ∨ ∼x)) ∨ y

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= (∼y ∨ ∼x) ∨ y

= ∼x ∨ (y ∨ ∼y)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= ∼x ∨ T

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= T

显然，我们可以说这个命题的结果是 T。

因此，这个命题可以是

• 不可证伪的（Unfalsifiable）
• 重言式
• 可满足的（Satisfiable）
• 有效

方法 3： 在此方法中，我们将使用数字电子学

我们有以下内容：

[(x → y) ∧ (y → z)] ∧ (x ∧ ∼z)

= [(∼x ∨ y) ∧ (∼y ∨ z) ] ∧ (x ∧ ∼z) {∵x→ y = ∼x ∨ y}

现在我们有以下数字电子学方面的表达式：

= (x' + y)' + (x' + x.y)

现在我们将使用转置定理，如下所示：

= (x' + y)' + (x' + x).(x' + y)

= (x' + y)' + 1.(x' + y)

= (x' + y)' + (x' + y)

现在我们将使用德摩根定律，如下所示：

= x.y' + x' + y

现在我们将使用转置定理，如下所示：

= (x + x')(x' + y') + y

= 1.(x' + y') + y

= x' + (y' + y)

= x' + 1

= 1

显然，我们可以说这个命题的结果是 1。

因此，这个命题可以是

• 不可证伪的（Unfalsifiable）
• 重言式
• 可满足的（Satisfiable）
• 有效

第五部分

我们可以通过三种方法解决 (x ↔ z) → (∼y → (x ∧ z))，如下所示：

方法 1

在此方法中，我们将使用真值表，如下所示：

这里我们假设 (x ↔ z) → (∼y → (x ∧ z)) = R (设)

在上面的真值表中，我们可以看到最后一列同时包含真值（T）和假值（F）。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效
• 应急措施

方法 2： 在此方法中，我们将使用命题代数。

我们有以下内容：

(x ↔ z) → (∼y → (x ∧ z))

= (x ↔ z) → (y ∨ (x ∧ z)) {∵ x → y = ∼x ∨ y}

= ∼(x ↔ z) ∨ y ∨ (x ∧ z)

= ∼((x → z) ∧ (z → x)) ∨ y ∨ (x ∧ z) {∵ x ↔ y = (x → y) ∧ y → x)}

= ∼((∼x ∨ z) ∧ (∼z ∨ x)) ∨ y ∨ (x ∧ z) {∵ x → y = ∼x ∨ y}

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ∼[ ((∼x ∨ z) ∧ ∼z) ∨ ((∼x ∨ z) ∧ x) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将再次使用分配律，如下所示：

= ∼[((∼x ∧ ∼z) ∨ (z ∧ ∼z)) ∨ ((∼x ∧ x) ∨ (z ∧ x)) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= ∼[((∼x ∧ ∼z) ∨ F) ∨ (F ∨ (z ∧ x)) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= ∼[(∼x ∧ ∼z) ∨ (z ∧ x) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用德摩根定律，如下所示：

= [∼(∼x ∧ ∼z) ∧ ∼(z ∧ x) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将再次使用德摩根定律，如下所示：

= [(x ∨ z) ∧ (∼z ∨ ∼x) ] ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ((x ∨ z) ∧ ∼z) ∨ ((x ∨ z) ∧ ∼x) ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将再次使用分配律，如下所示：

= ((x ∧ ∼z) ∨ (z ∧ ∼z)) ∨ ((x ∧ ∼x) ∨ (z ∧ ∼x)) ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= ((x ∧ ∼z) ∨ F) ∨ (F ∨ (z ∧ ∼x)) ∨ y ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= (x ∧ ∼z) ∨ (z ∧ ∼x) ∨ y ∨ (x ∧ z)

= (x ∧ ∼z) ∨ y ∨ (∼x ∧ z) ∨ (x ∧ z)

现在我们将使用分配律，如下所示：

= (x ∧ ∼z) ∨ y ∨ ((∼x ∨ x) ∧ z)

现在我们将使用补码律，如下所示：

= (x ∧ ∼z) ∨ y ∨ (T ∧ z)

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= (x ∧ ∼z) ∨ y ∨ z

= z ∨ (x ∧ ∼z) ∨ y

现在我们将使用分配律，如下所示：

= ((z ∨ x) ∧ (z ∨ ∼z)) ∨y

现在我们将使用补码律，如下所示：

= ((z ∨ x) ∧ T) ∨ y

现在我们将使用恒等律，如下所示：

= x ∨ y ∨ z

显然，我们可以说这个命题的结果既不是 T 也不是 F。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效
• 应急措施

方法 3： 在此方法中，我们将使用数字电子学

我们有以下内容：

(x ↔ z) → (∼y → (x ∧ z))

= (x ↔ z) → (y ∨ (x ∧ z)) {∵x → y = ∼x ∨ y}

= ∼(x ↔ z) ∨ (y ∨ (x ∧ z)) {∵x → y = ∼x ∨ y}

现在我们有以下数字电子学方面的表达式：

= (x.z + x'.z')' + (y + x.z)

现在我们将使用德摩根定理，如下所示：

= (x.z)' . (x'.z')' + (y + x.z)

现在我们将再次使用德摩根定理，如下所示：

= (x' + z') . (x + z) + (y + x.z)

= x'.x + x'.z + z'.x + z'.z + y + x.z

= 0 + x'.z + z'.x + 0 + y + x.z

= x'.z + z'.x + y + x.z

= (x' + x).z + z'.x + y

= z + z'.x + y

现在我们将使用转置定理，如下所示：

= (z + z').(z + x) + y

= x + y + z

显然，我们可以说这个命题的结果既不是 0 也不是 1。

因此，这个命题可以是

• 可证伪的（Falsifiable）
• 可满足的（Satisfiable）
• 无效
• 应急措施