离散数学中的代数结构

代数结构是一种配备有一种或多种二元运算的非空集合 G。让我们假设 * 描述了非空集合 G 上的二元运算。在这种情况下，(G, *) 将被称为代数结构。(1, -)、(1, +)、(N, *) 都是代数结构。

(R, +, .) 是一种代数结构，它配备了两种运算（+ 和 .）。

集合的二元运算

在二元运算中，“二元”代表两个。二元运算是一种需要两个输入（称为操作数）的运算。当我们对两个数进行乘法、除法、加法或减法运算时，我们会得到一个数。集合中的两个元素与二元运算相关联。这两个元素的结果也将属于同一个集合。所以我们可以说，如果我们在一个集合上执行二元运算，它将执行计算，合并集合中的两个元素，并生成另一个属于同一集合的元素。

让我们假设有一个非空集合 G。从 G × G 到 G 的函数 f 被称为 G 上的二元运算。因此，f: G × G → G 定义了 G 上的一个二元运算。

二元运算的例子

在这个例子中，我们将取两个自然数或两个实数，并对这些数执行二元运算，如加法、乘法、减法和除法。对两个自然数或实数进行的代数运算将产生一个结果。如果我们得到一个自然数或实数作为结果，那么我们就认为该二元运算在我们的集合中是有效的。

加法

我们将学习加法，它是一种二元运算。假设我们有两个自然数 (a, b)。现在，如果我们将这些数相加，结果将是一个自然数。例如：假设有两个自然数 6 和 8，它们的和是

因此，结果 14 也是一个自然数。所以，我们将加法视为在我们的集合中有效的运算。同样的过程也适用于实数。

乘法

现在我们来学习乘法，它是一种二元运算。如果我们将两个自然数 (a, b) 相乘，结果将是一个自然数。例如：假设有两个自然数 10 和 5，它们的乘积是

因此，结果 50 也是一个自然数。所以我们将乘法视为在我们的集合中有效的运算。同样的过程也适用于实数。

减法

现在我们来学习减法，它是一种二元运算。如果我们将两个实数 (a, b) 相减，结果也将是一个实数。同样的过程不适用于自然数，因为如果我们取两个自然数进行二元减法，结果不一定是一个自然数。例如：假设我们取两个自然数 5 和 7，它们的差是

因此，结果不是一个自然数。所以我们不将减法视为在自然数集合中有效的运算。

除法

现在我们来学习除法，它是一种二元运算。如果我们将两个实数 (a, b) 相除，结果也将是一个实数。同样的过程不适用于自然数，因为如果我们取两个自然数进行二元除法，结果不一定是一个自然数。例如：假设我们取两个自然数 10 和 6，它们的商是

因此，结果 5/3 不是一个自然数。所以我们不将除法视为在自然数集合中有效的运算。

- : R - R → R 由 (x, y) → x - y 导出

代数结构的性质

交换律：假设集合 G 包含一个二元运算 *。如果该运算 * 满足以下关系，则称其在 G 中是可交换的

结合律：假设集合 G 包含一个二元运算 *。如果该运算 * 满足以下关系，则称其在 G 中是满足结合律的

单位元：假设我们有一个代数系统 (G, *)，并且集合 G 包含一个元素 e。如果该元素满足以下关系，则它将被称作集合的单位元

这里，元素 e 可被称为 G 的单位元，我们也可以看到它必然是唯一的。

逆元：假设有一个代数系统 (G, *)，它包含一个单位元 e。我们还假设集合 G 包含元素 x 和 y。如果元素 y 满足以下关系，它将被称作 x 的逆元

这里，元素 x 也可以被称为 y 的逆元，我们也可以看到它必然是唯一的。x 的逆元也可以表示为 x^-1，如下所示

消去律：假设集合 G 包含一个二元运算 *。如果该运算 * 满足以下关系，则称其在 G 中满足左消去律

如果它满足以下关系，则称为右消去律

代数结构的类型

代数结构有多种类型，如下所述：

• 半群
• 幺半群
• 群组
• 阿贝尔群

所有这些代数结构在二进制编码和许多其他学科中都有广泛的应用。

半群

假设有一个代数结构 (G, *)，如果它满足以下条件，则被称为半群

• 封闭性：运算 * 在 G 上是封闭的，即对于所有 a, b ∈ G，(a*b) 属于集合 G。
• 结合性：运算 * 在 a, b, c 之间满足结合律，即对于所有 G 中的 a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c。

注意：一个代数结构总是通过半群来表示。

示例 1

半群的例子是（矩阵，*）和（整数集，+）。

示例 2

半群包含一个带加法或乘法运算的正整数集合。正整数不包含零。例如：假设我们有一个集合 G，它包含一些除零以外的正整数，如 1, 2, 3，等等，如下所示：

• 该集合具有封闭性，因为根据封闭性，(a * b) 对于每个元素 a, b 都属于 G。所以在这个集合中，(1*2) = 2 ∈ G。
• 该集合也具有结合性，因为根据结合律，(a + b) + c = a + (b + c) 对于每个元素 a, b, c 都属于 G。所以在这个集合中，(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈ G。

幺半群

幺半群是一个半群，但它额外包含一个单位元（E 或 e）。如果一个代数结构 (G, *) 满足以下条件，则被称为幺半群

• 封闭性：G 在运算 * 下是封闭的，即对于所有 a, b ∈ G，(a*b) 属于集合 G。
• 结合性：运算 * 在 a, b, c 之间满足结合律，即对于所有 G 中的 a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c。
• 单位元：集合 G 中必须存在一个单位元，即对于所有 x，a * e = e * a = a。

注意：一个代数结构和一个半群总是通过幺半群来表示。

示例 1

在这个例子中，我们将使用（整数集，*）、（自然数集，+）和（全数集，+）。其中

• 幺半群由（整数集，*）表示，因为 1 是一个整数，并且它也是单位元。
• 幺半群不由（自然数集，+）表示，因为它没有单位元，但它是一个半群。
• 幺半群由（全数集，+）表示，因为它包含 0 作为单位元。

示例 2

幺半群包含一个带加法或乘法运算且不含零的正整数集合。例如：假设我们有一个集合 G，它包含一些正整数，如 1, 2, 3，等等，如下所示

• 该集合具有封闭性，因为根据封闭性，(a * b) 对于每个元素 a, b 都属于 G。所以在这个集合中，(1*2) = 2 等等。
• 该集合具有结合性，因为根据结合律，(a + b) + c = a + (b + c) 对于每个元素 a, b, c 都属于 G。所以在这个集合中，(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 5 等等。
• 该集合也具有单位元性质，因为根据此性质，a * e = e * a = a，其中 a ∈ G。所以在这个集合中，(2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3 等等。在我们的例子中，1 是单位元。

群组

群是一个幺半群，但它额外包含一个逆元，用 1 表示。如果一个代数结构 (G, *) 满足以下条件，则被称为群

• 封闭性：G 在运算 * 下是封闭的，即对于所有 a, b ∈ G，(a*b) 属于集合 G。
• 结合性：* 在 a, b, c 之间满足结合律，即对于所有 G 中的 a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c。
• 单位元：集合 G 中必须存在一个单位元，即对于所有 a，a * e = e * a = a。
• 逆元：它包含一个逆元，即对于 a ∈ G，a * a^-1 = a^-1 * a = e。

注意：一个代数结构、半群和幺半群总是通过群来表示。

示例 1

群的例子是矩阵乘法和 (Z, +)。

示例 2

在这个例子中，我们将对非奇异矩阵 N × N 的集合使用矩阵乘法运算，它构成一个群。

• 如果我们对非奇异矩阵 N × N 进行乘法运算，结果也将是一个非奇异矩阵 N × N，这满足封闭性。
• 矩阵乘法本身满足结合性。所以它也是结合的。
• 单位矩阵包含在非奇异矩阵 N × N 的集合中，这满足单位元的性质。
• 正如我们所见，所有矩阵都是非奇异的。所以它们将包含逆元，这些逆元也将是非奇异矩阵。因此，它也满足逆元的性质。

阿贝尔群

阿贝尔群是一个群，但它还满足交换律。如果一个代数结构 (G, *) 满足以下条件，则被称为阿贝尔群

• 封闭性：G 在运算 * 下是封闭的，即对于所有 a, b ∈ G，(a*b) 属于集合 G。
• 结合性：* 在 a, b, c 之间满足结合律，即对于所有 G 中的 a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c。
• 单位元：集合 G 中必须存在一个单位元，即对于所有 a，a * e = e * a = a。
• 逆元：它包含一个逆元，即对于 a ∈ G，a * a^-1 = a^-1 * a = e。
• 交换律：存在一个交换律，使得 a * b = b * a，其中 a, b 属于 G。

注意：(Z, +) 是一个阿贝尔群，因为它是可交换的，但矩阵乘法不是可交换的，所以它不是一个阿贝尔群。

示例：假设我们有一个集合 G，它包含一些除零外的正整数，如 1, 2, 3，等等，并带有加法运算，如下所示：

• 该集合具有封闭性，因为根据封闭性，(a + b) 对于每个元素 a, b 都属于 G。所以在这个集合中，(1 + 2) = 3 ∈ G 等等。
• 该集合也具有结合性，因为根据结合律，(a + b) + c = a + (b + c) 对于每个元素 a, b, c 都属于 G。所以在这个集合中，(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 ∈ G 等等。
• 该集合也具有单位元性质，因为根据此性质，(a * e) = a，其中 a ∈ G。所以在这个集合中，(2 × 1) = 2, (3 × 1) = 3 等等。在我们的例子中，1 是单位元。
• 该集合也具有交换性，因为根据此性质，(a * b) = (b * a)，其中 a, b ∈ G。所以在这个集合中，(2 × 3) = (3 × 2) = 6 等等。