离散数学中的双条件语句

双条件语句的意思是两个方向都满足条件。双条件语句可以被描述为另一种类型的必要蕴含。有时，双条件语句也称为双蕴含。双条件语句用符号 ⇔ 表示。在这种语句中，我们不使用与蕴含语句相同的关键词，即“如果…则…”。在这种语句中，我们使用关键词“当且仅当”，以便将前提和结论连接起来。在双条件语句中，语句的形式为{(假设/前提) 当且仅当 (结论)}。双条件语句也可以用另一种方式书写，即{(结论) 当且仅当 (前提)}。

双条件语句也可以用其他词语来描述，并且根据这些描述，我们可以用真实的条件语句来创建一个双条件语句。为此，我们只需删除条件语句中的“如果…则…”部分，然后将前提和结论组合起来，并用短语“当且仅当”来连接。

如何写条件语句

双条件语句可以用多种方式书写，如下所述：

我们知道这个语句是双条件的（两个方向都满足条件）。因此，我们也把这个语句写成**逆命题**的形式，如下所述：

所以我们注意到可以创建两个双条件语句。因此，条件语句可以称为单向车道，而双条件语句可以称为双向车道。

还有两种书写双条件语句的方式，如下所述：

P 是 Q 的充要条件

P 当且仅当 Q，其中“iff”代表“if and only if”（当且仅当）

要生成一个双条件语句，条件语句和逆命题都必须为真。

逆命题和复合语句

逆命题和复合语句可以被描述为双条件语句。这里我们将描述条件语句、逆命题和复合语句。

条件语句：条件语句可以用短语“如果…则…”来描述。例如：“如果一个四边形有四条全等的边和角，那么这个四边形就是正方形”。

逆命题：当我们颠倒原语句的顺序时，在这种情况下，就会创建逆命题。例如：如果一个四边形是正方形，那么这个四边形将有四条全等的边和角”。

复合语句：当我们在这两个语句之间添加单词“和”时，在这种情况下，就会创建复合语句。例如：“你想去果阿旅行，我们在这里提供帮助”。

所以简单地说，我们可以说复合语句、析取或带有其逆命题的条件语句也是双条件语句。作为复合语句的双条件语句描述如下：

“如果两个线段全等，那么这两个线段的长度相等；并且，如果两个线段的长度相等，那么这两个线段都全等。”

这个语句用来表明一个真实双条件语句，因为这个语句结合了条件语句：如果两个线段全等，那么这两个线段的长度相等，以及它的逆命题：如果两个线段的长度相等，那么这两个线段都全等。

我们也可以用更简单的方式写出上面的双条件语句，即“两个线段全等，当且仅当这两个线段的长度相等”。

条件语句及其逆命题的例子

示例 1

条件语句：如果我得了 65% 或更高，那么我通过了考试。（真）

逆命题：如果我通过了考试，那么我得了 65% 或更高。（真）

所以我们可以写出两个双条件语句，因为上面的条件语句和逆命题都是真的。这两个双条件语句描述如下：

1. 我得了 65% 或更高，当且仅当我通过了考试。
2. 我通过了考试，当且仅当我得了 65% 或更高。

只有当条件语句和逆命题具有相同的真值时，我们才能创建两个双条件语句。真值是真还是假都不重要。只关心相同的真值。两个语句都可能是假的，我们仍然可以写出一个真实双条件语句。（“我的宠物狗画一张苹果照片，当且仅当我的宠物狗在线购买艺术用品”）。

在下一个例子中，我们将使用我们的宠物狗，看看如何通过不同的真值来阻止逻辑双条件语句。

示例 2

条件语句：如果我有一只宠物狗，那么我学习的时间就会被浪费。（真）

逆命题：如果我学习的时间被浪费了，那么我有一只宠物狗。（不真）

在以下语句中，我们试图写出逻辑双条件语句，但未能成功，而且这些语句也没有意义。

• 我有一只宠物狗，当且仅当我学习的时间被浪费。（不真）
• 我学习的时间被浪费了，当且仅当我有一只宠物狗。（不真）

双条件语句的符号

我们可以回顾一下，通过逻辑符号，我们可以替换语句中的词语。假设有一个条件语句，“如果我有一只宠物狗，那么我学习的工作就会被浪费”。现在我们可以用字母 P 替换前提，用字母 Q 替换结论，并添加符号 → 作为连接符，如下所示：

我们总是使用符号 ⇔ 来表示双条件语句，因为在这种语句中，真值在两个方向上都起作用。

双条件语句是两个语句的组合，描述如下：

这种组合也可以用另一种方式表示，如下所示：

真值表

当有一个语句，我们需要检查它是否为真时，我们通常倾向于使用真值表，通过它可以轻松地比较真值（这些值是真还是假）。通过这个表，我们可以评估逻辑语句。双条件语句“P 当且仅当 Q”当 P 和 Q 在真值表中具有相同的真值时为真。

现在我们将采用我们原来的双条件语句，即：

“你非常仔细地阅读这篇文章，当且仅当你对学习复合语句、逆命题和真值表概念有兴趣，这样才能轻松了解一个真实的双条件语句”。

从这个双条件语句中，P 和 Q 的陈述将是：

P：你非常仔细地阅读这篇文章

Q：你对学习复合语句、逆命题和真值表概念有兴趣，这样才能轻松了解一个真实的双条件语句

以上 P 和 Q 语句以及整个语句的真值表描述如下：

单独来看，P 和 Q 给出 4 种可能的真值组合，因为它们可以是真或假。这张表的前两行是逻辑双条件的反例，它们说：“你非常仔细地阅读这篇文章，但你对学习复合语句、逆命题和真值表概念一点兴趣都没有”，以及“你没有非常仔细地阅读这篇文章，但你对学习复合语句、逆命题和真值表概念感兴趣”。

通过上表的第一行和最后一行，逻辑双条件得到了支持。第一行用于表明“你非常仔细地阅读这篇文章，并且你对学习复合语句、逆命题和真值表概念感兴趣”。但是最后一行并没有说明与条件相关的任何内容，因此该语句并没有证伪双条件。所以第四个语句说“你没有非常仔细地阅读这篇文章，并且你对学习复合语句、逆命题和真值表概念不感兴趣”。

双条件语句的例子

通过上面的讨论，我们已经学习了几种条件语句及其逆命题。

• 条件语句：如果我得了 65% 或更高，那么我通过了考试。（真）
• 逆命题：如果我通过了考试，那么我得了 65% 或更高。（真）
• 条件语句：如果我在呼吸，那么我还活着。（真）
• 逆命题：如果我还活着，那么我在呼吸。（真）

现在我们将为上述两个语句写出双条件语句，如下所示：

1. 我得了 65% 或更高，当且仅当我通过了考试
2. 我通过了考试，当且仅当我得了 65% 或更高。
3. 我在呼吸，当且仅当我还活着
4. 我还活着，当且仅当我在呼吸

如果我们成功地写出这些语句的逆命题和双条件语句，我们就可以“清理”这些词语以符合语法。

• 如果我去健身房，我就会感到放松。

在选择下面的语句之前，我们将尝试这样做：

• 如果我去健身房，我就会感到放松。（真）
• 如果我感到放松，那么我就会去健身房。（真）

上述语句的双条件语句描述如下：

1. 我去健身房，当且仅当我感到放松。
2. 我感到放松，当且仅当我去健身房。

现在我们将以类似的方式写出其他剩余的：

• 如果我向老师问更多问题，我就会更好地理解概念。（真）
• 如果我更好地理解了概念，那么我就会向老师问更多问题。（假）

以上两个剩余语句的真值不相同，所以我们不能为它们写双条件语句。

重要提示

当我们学习双条件语句时，有一些重要的要点需要了解。有了这些要点，我们就可以轻松地识别给定的语句是否为双条件语句。这些要点描述如下：

• 当我们结合条件语句及其逆命题时，就会创建一个双条件语句。因此，一个条件语句为真，当且仅当另一个也为真。
• 为了表示双条件语句，我们经常使用“当且仅当”这个词。有时，我们也使用它的缩写“iff”。
• 双条件语句总是使用双箭头。这个箭头用来表示条件必须在两个方向上都为真。