离散数学中的蕴含

蕴涵语句可以表示为“如果……那么”的形式。符号 ⇒ 用于表示蕴涵。假设有两个语句 P 和 Q。在这种情况下，语句“如果 P 那么 Q”也可以写作 P ⇒ Q 或 P → Q，它将读作“P 蕴涵 Q”。在这个蕴涵中，语句 P 是一个假设，也称为前提或前件，语句 Q 是结论，也称为后件。

蕴涵在逻辑论证中也扮演着重要角色。如果语句的蕴涵已知为真，那么当前提满足时，结论也必须为真。因此，蕴涵也称为条件语句。

以下是一些蕴涵的例子：

• “如果果阿天气晴朗，那么我们就去海滩。”
• “如果俱乐部有折扣系统，那么我们就去那个俱乐部。”
• “如果去海滩时阳光明媚，那么我们会被晒黑。”

逻辑蕴涵可以用多种方式表达，如下所述：

1. 如果 p 那么 q
2. 如果 p，q
3. 当 p 时 q
4. Q 当且仅当 P
5. q 除非 ~p
6. 每当 p 时 q
7. p 是 q 的充分条件
8. q 随 p 而来
9. p 蕴涵 q
10. p 的必要条件是 q
11. 如果 p 则 q
12. q 对 p 是必要的
13. p 是 q 的必要条件

现在我们将借助前提 P 和结论 Q 来描述上述所有蕴涵的例子。为此，我们假设 P = 天气晴朗，Q = 我要去海滩。

P ⇒ Q

1. 如果天气晴朗，那么我就去海滩
2. 如果天气晴朗，我就去海滩
3. 当天气晴朗时，我就去海滩
4. 我只有在天气晴朗时才去海滩
5. 除非不晴朗，否则我就去海滩
6. 每当天气晴朗时，我就去海滩
7. 天气晴朗是我去海滩的充分条件
8. 我去海滩随天气晴朗而发生
9. 天气晴朗蕴涵我去海滩
10. 天气晴朗的必要条件是我去海滩
11. 如果天气晴朗，我就去海滩
12. 我去海滩对天气晴朗是必要的
13. 天气晴朗是我去海滩的必要条件

当存在条件语句“如果 p 那么 q”时，当前提 p 为真且结论 q 为假时，语句 P ⇒ Q 将为假。在所有其他情况下，即当 p 为假或 Q 为真时，语句 P ⇒ Q 将为真。我们可以借助真值表来表示这个语句，其中假将用 F 表示，真将用 T 表示。“如果 P 那么 Q”的真值表如下所示：

前提和结论不一定相互关联。真值表的解释取决于 P 和 Q 的表述方式。

例如

• 如果 Jack 是塑料做的，那么海洋是绿色的。
• 语句：Jack 是塑料做的
• 语句：海洋是绿色的

上述两个语句没有任何意义，因为 Jack 是人，他不可能由塑料制成，而另一个语句“海洋是绿色的”永远不会发生，因为海洋总是蓝色的，海洋的颜色不能改变。正如我们所见，这两个语句彼此不相关。另一方面，语句 P ⇒ Q 的真值表是有效的。所以这不是真值表是否正确的问题，而是想象力和解释的问题。

因此在 P ⇒ Q 中，我们不需要前提和结果之间有任何类型的联系。其含义仅取决于 P 和 Q 的真值。

即使我们考虑我们世界中的这两个语句，这些语句也将是假的，所以

所以当我们看上面的真值表时，我们看到当 P 为假且 Q 为假时，P ⇒ Q 为真。

所以，如果 Jack 是塑料做的，那么海洋将是绿色的。

然而，前提 p 和结论 q 将是相关的，并且两个语句都有意义。

歧义

蕴涵运算符可能存在歧义。因此，当我们使用蕴涵运算符 (⇒) 时，我们应该使用括号。

例如：在这个例子中，我们有一个模糊的语句 P ⇒ Q ⇒ R。现在，我们有两个模糊的语句 ((P ⇒ Q) ⇒ R) 或 (P ⇒ (Q ⇒ R))，我们必须证明这些语句是否相似。

解决方案：我们将借助真值表来证明这一点，如下所述：

在上述真值表中，我们可以看到 P ⇒ (Q ⇒ R) 和 (P ⇒ Q) ⇒ R 的真值表不相似。因此，它们都将产生不同的输出或结果。

关于蕴涵的更多信息

以下是一些蕴涵的更多例子：

• 如果天气晴朗，那么我就去学校。
• 如果我得到一份好工作，那么我就会赚钱。
• 如果我考得好，那么我的父母会很高兴。

在上述所有例子中，我们感到困惑，因为我们不知道蕴涵何时被认为是真的，何时被认为是假的。为了解决这个问题并理解蕴涵的概念，我们将使用一个假设的例子。在这个例子中，我们将假设 Marry 将和她的男朋友 Jack 打羽毛球，她的男朋友 Jack 想稍微激励 Marry，所以他用一个声明来引诱她。

通过这句话，Jack 的意思是如果 Marry 赢了，那么他显然会买一个戒指。通过这句话，Jack 只在 Marry 赢了的时候承诺自己。在 Marry 输掉的任何情况下，他都没有承诺任何事情。所以比赛结束时，只有四种可能性，如下所述：

• Marry 赢了 - 买戒指。
• Marry 赢了 - 不买戒指。
• Marry 输了 - 买戒指。
• Marry 输了 - 不买戒指。

然而，Jack 并没有就规则 (B) 发表任何声明。他也没有在他的声明中提及规则 (C) 和 (D)，所以如果 Marry 输了，那么 Jack 是否为她买戒指完全取决于他。实际上，声明 (A)、(C) 和 (D) 可能是 Jack 对 Marry 说的话的结果，但 (B) 不会是结果。如果结果 (B) 发生，只有那时 Jack 才会撒谎。在所有其他三种情况，即 (A)、(C) 和 (D) 中，他都会说真话。

现在我们将使用更简单的语句，以便我们可以像这样象征性地定义 Jack 的语句：

在这个蕴涵中，我们使用逻辑符号 ⇒，它可以读作“蕴涵”。我们将通过将这个箭头从 P 指向 Q 来构成 Jack 的复合语句，如下所示：

总之，我们已经观察到，只有当 P 为真而 Q 为假时，蕴涵才为假。根据这个说法，Marry 赢得了比赛，但可悲的是 Jack 没有买戒指。在所有其他情况/结果中，该语句都为真。因此，蕴涵的真值表如下所示：

蕴涵对应的逻辑方程列表如下所述：

蕴涵的例子

蕴涵有各种各样的例子，其中一些如下所述：

示例 1：假设有四个语句 P、Q、R 和 S，其中

P：Jack 在学校

Q：Jack 在教学

R：Jack 在睡觉

S：Jack 生病了

现在我们将描述一些涉及这些简单语句的符号语句。

1. P → R
2. S → ~P
3. ~Q → (S ∧ R)
4. (P ∨ R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

这里我们必须展示这些符号语句的解释如何用文字表示。

解决方案

示例 2：在此示例中，我们有一个蕴涵 P → Q。这里，我们还有三个与此蕴涵自然相关的复合语句，即逆否、逆和反之。所有这四个语句之间的关系通过下表描述：

现在我们来看一个蕴涵的例子，它的语句是“如果你好好学习，你就能取得好成绩”。这个语句是 P → Q 的形式，其中

P：你好好学习

Q：你取得好成绩

现在我们将使用 P 和 Q 语句并展示这四个相关语句，如下所示：

蕴涵：如果你好好学习，你就能取得好成绩。

逆：如果你取得好成绩，你就会好好学习。

否：如果你不好好学习，你就不能取得好成绩。

逆否：如果你没有取得好成绩，你就没有好好学习。

上述所有相关语句的真值通过真值表描述，如下所示：

在上表中，我们可以看到蕴涵 (P → Q) 及其逆否 (~Q → ~P) 在其列中具有相同的值。这意味着它们是等价的。所以我们可以说

同样，我们可以看到逆和否在其列中都具有相似的值。但这不会产生任何影响，因为否是逆的逆否。同样，原始蕴涵可以从逆否的逆否中得到。（这意味着如果我们否定 P 和 Q，然后改变箭头的方向，然后我们再次重复这个过程，即否定 ~P 和 ~Q，并再次改变箭头的方向，在这种情况下，我们将回到我们开始的地方）。