正规子群

设 G 是一个群。如果对于所有 h∈ H 和 x∈ G，都有 x h x^-1∈ H，则 G 的一个子群 H 被称为 G 的正规子群。

如果 x H x^-1 = {x h x^-1| h ∈ H}，则 H 在 G 中是正规的，当且仅当 xH x^-1⊆H, ∀ x∈ G

陈述： 如果 G 是一个阿贝尔群，那么 G 的每个子群 H 在 G 中都是正规的。

证明： 设任意 h∈ H, x∈ G, 则
x h x^-1= x (h x^-1)
x h x^-1= (x x^-1) h
x h x^-1 = e h
x h x^-1 = h∈ H

因此 H 是 G 的正规子群。

群同态

同态是从 G 到 G' 的映射 f: G→ G'，使得 f (xy) =f(x) f(y), ∀ x, y ∈ G。映射 f 保留了群运算，即使群 G 和 G' 的二元运算不同。上述条件称为同态条件。

同态的核：- 从群 G 到单位元为 e' 的群 G' 的同态 f 的核是集合 {x∈ G | f(x) =e'}

f 的核用 Ker f 表示。

如果 f: G→G' 是 G 到G' 的一个同态，那么 f 的像集就是范围，用 f (G) 表示。 因此

Im (f) = f (G) = {f(x)∈ G'| x ∈G}

如果 f (G) =G'，那么 G' 被称为 G 的同态像。

注意：- 群同态

同构

设 (G₁,*) 和 (G₂,0) 是两个代数系统，其中 * 和 0 都是二元运算。如果存在一个同构映射 f: G₁→G₂，则系统 (G₁,*) 和 (G₂,0) 被称为同构的

当两个代数系统同构时，这两个系统在结构上是等价的，并且可以通过简单地重新命名元素和运算从一个系统获得另一个系统。

例子： 设 (A₁,*) 和 (A₂,⊡) 是如图所示的两个代数系统。确定这两个代数系统是否同构。

解决方案： 两个代数系统 (A₁,*) 和 (A₂,⊡) 是同构的，并且 (A₂,⊡) 是 A₁ 的同构像，使得

        f( a)=1
        f (b)=w
        f (c)= w²

自同构

设 (G₁,*) 和 (G₂,0) 是两个代数系统，其中 * 和 0 分别是 G₁ 和 G₂ 上的二元运算。那么从 (G₁,*) 到 (G₂,0) 的同构如果 G₁= G₂ 则称为自同构

环

代数系统 (R, +,)，其中 R 是具有两个任意二元运算 + 和 . 的集合，如果它满足以下条件，则称为环

1. (R, +) 是一个阿贝尔群。
2. (R,∙) 是一个半群。
3. 乘法运算，对加法运算 + 具有分配律，即
           a (b+c)=ab +ac 且 (b+c)a = ba + ca，对于所有 a, b, c ∈ R。

例 1： 考虑 M 为所有类型矩阵的集合 在矩阵加法和矩阵乘法下的整数上。 因此，M 形成一个环。

例 2： 在模 9 的加法和乘法运算下，集合 Z₉ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 形成一个环。

环的类型

1. 交换环： 如果环 (R, +,) 在乘法运算下保持交换律，即 a. b = b. a，对于每个 a, b∈ R，则称为交换环

例 1： 考虑所有偶数整数的集合 E 在加法和乘法运算下。 集合 E 形成一个交换环。

2. 带单位元的环： 如果环 (R, +,) 具有乘法单位元，则称为带单位元的环，即

例子： 考虑所有 2 x 2 矩阵在矩阵乘法和矩阵加法下的整数上的集合 M。集合 M 形成一个带单位元的环 .

3. 具有零因子的环： 如果 a.b=0，其中 a 和 b 是环 (R, +) 中任意两个非零元素，则 a 和 b 称为零因子，环 (R, +) 称为具有零因子的环。

4. 无零因子环： 代数系统 (R, +)，其中 R 是具有两个任意二元运算 + 的集合，如果对于每个 a, b ∈R，我们有 a.b≠0 ⟹a≠0 且 b ≠0，则称为无零因子环

子环

环 (R, +) 的一个子集 A 被称为 R 的子环，如果它满足以下条件

(A, +) 是群 (R,+) 的一个子群

A 在乘法运算下是封闭的，即 a.b ∈A，对于每个 a,b ∈A。

例子： 整数环 (I, +) 是实数环 (R, +) 的一个子环。

注意
1. 如果 R 是任何环，则 {0} 和 R 是 R 的子环。
2. 两个子环的和可能不是一个子环。
3. 子环的交集是一个子环。