离散无穷群

如果一个群包含无限个元素，那么它就被称为无限群。在一个群中，我们可以通过一些构造性过程或公式来定义无限个元素集合。这种公式可能包含一些参数，这些参数可以是实数、整数，甚至是流形上的点。在非正式分类中，起始点描述如下：

第一种情况，群被称为离散群；第二种情况，群被称为连续群。无限循环群是离散无限群最简单、最好的例子。群 (I, +) 是无限群的一个例子，因为集合 I 包含无限个整数。

假设有一个群 G 和一个集合 X。通过函数 φ : G × X → X，我们可以定义 G 在集合 X 上的群作用。该函数对所有 x ∈ X 都满足一些条件，这些条件描述如下：

• φ(e, x) = x，其中 e 用于表示 G 的单位元。
• φ(g, φ(h, x)) = φ(gh, x) 对于所有 g, h ∈ G

存在一些无限群（有理数或整数群）不包含连续群。无限群包含那些不能用连续参数（如复数或实数）来参数化的元素。以下几点说明了如何在有理数、非有理数和整数集的情况下形成一个群：

1. 群可以通过整数 Z 和有理数 Q 在加法运算下形成。在这种情况下，单位元是零，一个数 q 的逆元是 -q。

2. 群可以通过非零有理数 Q* 在乘法运算下形成。

在这种情况下，非零有理数 q 的逆元是非零有理数 1/q，单位元是 1。

3. SL(2, Z)。

在这里，我们将以弦理论的形式展示一个离散无限群的例子，通过一个包含所有单位行列式的二维矩阵群，这些矩阵的元素是整数。

群运算是一种矩阵乘法。

具体来说，下面这个公式用于表示群乘法：

上面描述的所有元素都是整数。

在上面的方程中，单位行列式条件 可以由条件 ad - bc = 1 来描述。

当存在复数时，在这种情况下，群自然作用。这里是复数 x + iy，其中 y>0。

现在我们将使用一个复数 z = x+iy，其中 x 和 y 都表示实数，且 y>0，然后找到矩阵 在这个复数上的作用，如下所示：

如果我们只需要行列式 ad - bc 非零，那么我们将得到群 GL(2, Z)。

4. SL(2, Z, n)

这个例子与上面 SL(2, Z) 部分描述的相同。唯一的区别是，在这个群中，我们只需要每个矩阵的右上角元素是 n 的倍数。这里 n 用于表示一个固定的正整数。