集合与类型之间的语义差异

在各自的理论中，集合（Set）和类型（Type）具有等同的概念。它们都代表了构建和讨论结构化、复杂数学对象的方式，但其用法却大相径庭。这两个术语在数学领域扮演着至关重要的角色，因为它们催生了集合论和类型论。集合和类型都可视为某种容器，根据对象的属性来容纳和分类对象。集合可以根据属性将许多异构对象组合在一起，因此更具灵活性。另一方面，类型则根据对象的构造方式对其进行分类，从而提供了如何解构特定类型任意成员的思路。在本文中，我们将讨论集合与类型在数学上的语义差异。

数学中的集合是什么？

在数学中，集合被定义为对象的集合。集合中的对象称为集合的元素。集合中的元素需要被清晰地定义，以便知道给定对象是否属于该集合。在一个班级里，每个学生都是该班级或学生集合的元素。集合起源于 19 世纪，乔治·康托尔（George Cantor）被誉为集合论之父。

让我们通过一个例子来理解集合论的概念。

如果 P = 大于 2 且小于 7 的所有整数的集合，则

P = {3,4,5,6}

这是一个定义明确的集合，因为我们有 3、4、5、6 都大于 2 且小于 7。

因此，我们班所有高个子学生的集合不构成数学上的集合，因为所有成员的元素都没有被清晰地定义。

集合的理念

集合的理念是“对象的集合”。考虑数学中预定义的数学对象。这些预定义的数学对象可以被研究、分析，并根据某些因素以不同的形式组合在一起。这些分组形成一个集合，而对象的集合就是一个集合。

集合的应用

集合在数学中有广泛的应用。以下是一些最显著的应用。

• 集合用于构建关系。
• 集合用于识别和存储计算机编程中的唯一元素。
• 集合用于计算机科学最重要的分支——数字电子学。
• 集合是布尔代数的基础。
• 集合是集合论的基本基础。

基于集合的示例

示例 1:

用列举法求方程 x² - 9 = 0 的解集？

解决方案:

已知：

x² - 9 = 0

= x² - 3² = 0

= (x + 3) (x - 3); {a² - b² = (a + b) (a - b)}

= 3, -3

因此，A = {3, -3}

示例 2:

如果 P = {1,2,3,4,5,6,7}，Q = {2,5,7,8}，求 P-Q 和 Q-P

解决方案:

P - Q = {1,3,4,6}

Q- P = {8}

此处，

P - Q 不等于 Q- P

什么是类型？

数学中的类型是指在求值项时产生的一类值的集合，类型用 T 表示。类型是类型论的起点。换句话说，类型论指的是数学的一个基础，是集合论的替代方案。范畴论是数学中一个非常抽象的领域，对于分类和概括构造非常有用。然而，范畴论和类型论可以很好地协同工作，类型论中的大多数概念都可以用范畴术语简要表达。

类型的理念

• 构造是类型的理念。
• 在数学中，对象是按照规则构造的。
• 不同对象根据其构造方式进行组织，将它们归类为不同的类型。
• 在数学中，对象是唯一构造的，从而产生唯一的类型。

类型的特征

• 类型包含“项”（Terms）。
• 在类型论中，项只属于一种类型。
• 数字用于在类型论中表示函数。“和”和“或”可以使用它们本身来编码。不需要特定的系统。
• 类型包含的特征有：依赖类型、归纳类型、宇宙类型、相等类型和计算组件。
• 如果你想检查一个特定类型的项，“需要算法”。

类型的应用

类型在数学中有广泛的应用。以下是一些重要的应用。

• 类型论用于语言的语义。
• 在编程语言中，类型系统用于识别错误。
• 格雷戈里·贝特森（Gregory Bateson）的逻辑层级和双重束缚（Double bind）概念源于类型论。
• 证明定理、证明检查器和证明助手使用类型论将数学证明进行编码。
• 类型论创造了实际应用、编程语言、数学基础和社会科学。