离散数学中的否定

为了理解否定，我们首先需要理解命题，下面将进行描述。

命题可以被描述为一个不是感叹句、命令句或疑问句的句子。一个命题只有在它总是假或总是真时才被接受。有时我们想找出给定数学命题的反面。在这种情况下，将使用否定。因此，一个命题的否定可以被描述为给定命题的反面。

取反

在离散数学中，否定可以被描述为确定一个给定数学命题的反面的过程。例如：假设给定的命题是“Christen 不喜欢狗”。那么，这个命题的否定将是命题“Christen 喜欢狗”。如果有一个命题 X，那么这个命题的否定将是 ~X。符号“~”或“¬”用于表示否定。所以，如果一个命题是真的，那么它的否定就是假的。反之，如果一个命题是假的，那么它的否定就是真的。

换句话说，否定可以被描述为对某事的拒绝或否认。如果你的妹妹认为你是骗子，你说你不是，这句话就是一种否定。也可能存在其他否定句，如“我没有杀死我的妻子”和“我不认识那个女孩的名字”。当我们试图找出某个特定陈述的相反含义时，我们只需插入一个否定词即可轻松做到。否定词可以是“不”、“没有”和“从不”。例如，我们可以通过说“我没有在玩”来得到陈述“我正在玩”的反面。

如果我们对否定句进行否定，那么一般陈述就是原始陈述。我们将通过一个例子来理解这个概念，如下所示。

• 在这里，我们将假设一个命题，“印度的人口非常多”，用 X 表示。
• 因此，给定命题的否定将是“印度的人口不多”，用 ~X 表示。
• 上面否定句的否定将是“印度的人口非常多”，用 ~(~X) 表示。

因此，证明了否定句的否定就是给定的原始句。

获得命题否定的规则

有各种规则可以获得命题的否定，如下所述。

首先，我们必须在给定命题中加入“不”一词。例如，3 乘以 5 等于 15。给定命题的否定是“3 乘以 5 不等于 15”。

如果我们有包含“所有”和“有些”的这类命题，那么我们必须进行适当的修改。例如：“有些人不是虔诚的”。这个命题的否定是“所有人都是虔诚的”。

X 或 Y 的否定

对此，我们将假设一个命题，“我们要么是班尼亚人，要么是健康的”。如果我们不能是班尼亚人，也不能是健康的，这个命题就是假的。这个命题的反面就是不是班尼亚人，也不是健康的人。或者如果我们想用原始命题的形式重写这个命题，那么我们将得到“我们不是班尼亚人，也不是健康人”。

如果我们假设命题“我们是班尼亚人”为 X，另一命题“我们是健康的”为 Y，那么 X 和 Y 的否定将是命题“不是 X 并且不是 Y”。

一般而言，我们也将得到相同的命题，即 X 和 Y 的否定是命题“不是 X 并且不是 Y”。

X 且 Y 的否定

在这里，我们也举一个例子来理解这一点。为此，我们将假设一个命题，“我们既是班尼亚人又是健康的”。如果我们可能是非班尼亚人或非健康的，这个命题就是假的。如果我们假设命题“我们是班尼亚人”为 X，另一命题“我们是健康的”为 Y，那么 X 和 Y 的否定将是命题“我们不是班尼亚人，或者我们不是健康的”，或者“不是 X 或不是 Y”。

“如果 X，则 Y”的否定

我们可以使用另一个命题“X 且非 Y”来代替“如果 X，则 Y”的命题，这样我们就可以对 X 和 Y 进行否定。一开始，这个替换的命题看起来令人困惑。要理解这一点，我们将举一个简单的例子，这将帮助我们了解为什么这样做是正确的。

为此，我们将假设一个命题，“如果我们是班尼亚人，那么我们是健康的”。如果我们必须是班尼亚人而非健康的，那么这个命题就是假的。如果我们假设命题“我们是班尼亚人”为 X，另一命题“我们是健康的”为 Y，那么 X 和 Y (X ⇒ Y) 的否定将是命题，“我们是班尼亚人”= X，和“我们不健康”= 非 Y。总而言之，“如果 X，则 Y”的否定变为“X 且非 Y”。

例如：在这个例子中，我们将考虑一个数学命题。所以我们将假设一个命题，“如果 n 是偶数，那么 n/2 是一个整数”。如果我们想证明这个命题是错误的，那么我们需要找到一个偶数 n，使得 n/2 不是整数。所以我们可以说命题“n 是偶数且 n/2 不是整数”是给定命题的反面。

“对于每一个……”，“存在……”的否定

在离散数学中，我们有时会使用“对于每一个”、“对于所有”、“对于任何”和“存在”等短语。

为此，我们将假设一个命题，“对于所有整数 n，n 要么是偶数，要么是奇数”。这个短语与我们上面学过的其他短语略有不同。这个命题可以用“如果 X，则 Y”的形式来描述。上面的命题可以这样改写：“如果 n 是任何整数，那么 n 要么是偶数，要么是奇数”。

如果我们想确定这个命题的反面/假值，或者否定这个命题，那么我们必须确定一个不是偶数也不是奇数的整数。还有其他几种方法可以这样描述这个命题：“存在一个整数 n，使得 n 不是偶数，也不是奇数”。

如果我们否定一个涉及“所有”、“每一个”等短语的命题，在这种情况下，这些短语将被“存在”替换。类似地，当我们否定一个涉及“存在”短语的命题时，在这种情况下，该短语将被“所有”、“每一个”替换。

示例

在这个例子中，我们将考虑一个命题“如果所有班尼亚人都是健康的，那么所有旁遮普人都是苗条的”。为了理解这一点，我们将假设命题“如果所有班尼亚人都是健康的”为 X，另一命题“所有旁遮普人都是苗条的”为 Y。我们将这个命题假设为“如果 X，则 Y”的形式。所以这个命题的否定将是“X 且非 Y”的形式。所以我们可以说我们需要否定 Y。所以 Y 的否定将是命题“存在一个旁遮普人不是苗条的”。

当我们把这些命题放在一起时，我们将得到“所有班尼亚人都是健康的，但存在一个旁遮普人不是苗条的”作为“如果所有班尼亚人都是健康的，那么所有旁遮普人都是苗条的”的否定。