离散数学中的合取

逻辑推理是一项重要的技能，可以应用于工程、科学以及我们日常生活的各个领域。我们也可以在数学问题解决策略中使用逻辑推理。借助逻辑推理和已知事实，我们可以快速得出结论。有各种各样的逻辑连接来解决数学问题。其中一些常用的连接词描述如下。

• 含义
• 取反
• 析取
• 等效
• 连词

在本节中，我们将学习一种称为合取的连接词。我们将学习合取的定义、示例、规则和真值表。

合取的定义

当我们使用“AND”符号连接两个语句时，就称为合取。对于合取，复合语句为真当且仅当两个语句都为真。

假设有两个陈述：“圆是曲线”和“平行四边形是矩形”。现在，我们将这两个陈述与“和”结合起来，形成一个复合陈述，如“圆是曲线，且平行四边形是矩形”。仅当两个陈述都为真时，新创建的复合陈述才为真。如果只有一个陈述为真，而另一个为假，则复合陈述为假。

例如，如果两个陈述是“哈里想成为板球运动员”和“杰克想成为工程师”，那么情况也是如此。如果我们通过“和”将这两个陈述组合起来形成“哈里想成为板球运动员，而杰克想成为工程师”，那么对于这个复合陈述，两个陈述都必须为真。合取的图示如下。

离散数学中的合取

合取可以被描述为一个语句，它可以通过连接词 AND 将两个语句连接起来形成。符号 ∧ 用于表示合取。我们可以将此符号读作“和”。如果两个语句 x 和 y 连接成一个语句，则合取可以表示为 x ∧ y。当两个连接的语句都为真时，该语句为真。在所有其他情况下，它为假。x 和 y 的合取如下图所示。

合取的规则

• 只有当两个连接的语句都为真时，合取语句才为真。在所有其他情况下，它为假。
• 这个过程与 AND 门非常相似，AND 门包含在门逻辑主题中。
• 符号 ∧ 用于表示合取。我们可以将此符号读作“和”，它是一种逻辑连接词。
• 我们通常使用字母来表示语句。假设有两个语句 X 和 Y。当我们添加合取连接词时，该语句将成为复合语句。在这种情况下，复合语句表示为 X ∧ Y，读作“X 和 Y”。

合取的真值表

借助真值表，我们可以理解复合语句的最终值，该值基于各个语句的值。下表列出了所有可能的组合。在真值表中，真值用字母“T”表示，假值用字母“F”表示。在下表中，我们有两个语句 X 和 Y，以及一个复合语句 X ∧ Y。现在，我们需要为这些语句创建一个真值表。

通过上表，我们可以看到，当 X 和 Y 都为真时，合取语句 (X ∧ Y) 才为真。当其中一个不为真或为假时，合取语句为假。换句话说，我们可以说，除了两者都为真之外，合取在所有情况下都为假。

合取的示例

有很多合取的例子，描述如下。

示例 1：假设有两个语句 p 和 q。这里，p：哈里是板球运动员，q：杰克是网球运动员。现在，我们需要确定这是否是合取。

解答：在本例中，语句 p 表示句子“哈里是板球运动员”，语句 q 表示句子“杰克是网球运动员”。合取语句 X ∧ Y 仅当两个陈述“哈里是板球运动员”和“杰克是网球运动员”都为真时才为真。否则，合取将为假。现在，我们将描述所有可能组合的真值表，如下所示。

所以我们可以看到，当 X 和 Y 为真时，合取 X ∧ Y 才为真。因此，两个语句的合取是真的。

示例 2：假设有两个语句 p 和 q。这里，p：数字 n 是奇数，q：数字 n 是素数。现在，我们需要确定真值表是否可以列出 X ∧ Y 的所有真值。如果不能，则确定为什么不能这样做。

解答：p ∧ q 的真值取决于变量 n。但是对于 n 存在一些无限的数值。由于这些值，真值表无法列出 p ∧ q 的所有真值。不使用真值表，我们可以通过以下方式找到 n 以下值的 p ∧ q 的真值。

如果 n = 3，在这种情况下，p 为真，q 为真。所以合取 p ∧ q 也为真。

如果 n = 9，在这种情况下，p 为真，q 为假。所以合取 p ∧ q 为假。

如果 n = 2，在这种情况下，p 为假，q 为真。所以合取 p ∧ q 为假。

如果 n = 6，在这种情况下，p 为假，q 为假。所以合取 p ∧ q 也为假。

示例 3：在本例中，我们需要为每个合取创建一个真值表，如下所示。

1. p 和 q
2. ~p 和 q
3. ~q 和 p

解答：合取 p 和 q 的真值表如下。

合取 ~p 和 q 的真值表如下。

合取 ~q 和 p 的真值表如下。