加法定理

定理1: 如果 A 和 B 是两个互斥事件，则
                   P(A ∪B)=P(A)+P(B)

证明: 设 n = 所有可能情况的总数
                      n₁= A事件发生的可能数。
                      n₂= B事件发生的可能数。

现在，我们有 A 和 B 两个互斥事件。因此，n₁+n₂ 是 A 或 B 事件发生的可能数。

例子: 掷两次骰子。求第一次掷出偶数或总和为 8 的概率。

解决方案: 可以在骰子上以 3 种方式得到偶数，因为可以是 2、4、6 中的任何一个。 另一个骰子可以有任何数字。 这可能有 6 种方式。
        ∴ P (第一次掷出偶数) =

可以通过以下情况获得总和为 8

                {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
        ∴     P (总和为 8) =
            ∴     总概率 =

定理2: 如果 A 和 B 是两个非互斥事件，则
                 P(A ∪B)=P(A)+P(B)- P (A∩B).

证明: 设 n = 所有可能情况的总数
                      n₁= A事件发生的可能数
                      n₂= B事件发生的可能数
                      n₃= A 和 B 事件同时发生的可能数

但是 A 和 B 不是互斥的。 因此，A 和 B 可以同时发生。 所以，n₁+n₂-n₃ 是 A 或 B 事件发生的可能数。

因此，P(A ∪B)=
但是我们有，P(A)=, P(B) =和 P (A∩B)=

因此，      P(A ∪B)=P(A)+P(B)- P (A∩B).

例子1: 掷两次骰子。求第一次掷出偶数或总和为 8 的概率。

解决方案: P(第一次掷出偶数或总和为 8) = P (第一次掷出偶数)+P (总和为 8)= P(第一次掷出偶数且总和为 8)
∴    现在，P(第一次掷出偶数)=

显示总和为 8 的有序对 = {(6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6)} = 5
∴       概率; P(总和为 8) =

P(第一次掷出偶数且总和为 8) =

∴         所需概率 =

例子2: 掷两个骰子。 事件 A、B、C、D、E、F

A = 第一次掷出偶数。
B = 第一次掷出奇数。
C = 骰子上数字之和 ≤ 5
D = 骰子上数字之和 > 5 但小于 10。
E = 骰子上数字之和 ≥ 10。
F = 其中一个骰子上掷出奇数。

显示以下内容

1. A、B 是互斥事件和完备事件。
2. A、C 不是互斥的。
3. C、D 是互斥事件，但不是完备事件。
4. C、D、E 是互斥和完备事件。
5. A'∩B' 是互斥和完备事件。
6. A、B、F 不是互斥事件。

解决方案

A (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
     (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
     (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

B (1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
     (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
     (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

C (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)

D (1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6)
     (3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
     (4,2),(4,3),(4,4),(4,5)
     (5,1),(5,2),(5,3),(5,4)
     (6,1),(6,2),(6,3)

E (4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),(6,4)

F (1,2),(1,4),(1,6)
     (2,1),(2,3),(2,5)
     (3,2),(3,4),(3,6)
     (4,1),(4,3),(4,5)
     (5,2),(5,4),(5,6)
     (6,1),(6,3),(6,5)

1. (A∩B) =∅ 且 (A∪B)=S
     A、B 是互斥和完备事件。

2. (A∩C) 不是互斥的
     (2,1),(2,3),(4,1)≠ ∅

3. C∩D 是互斥的，但不是完备事件。
     C∩D=∅       C∪ D≠S

4. C∩D=∅,D∩E=∅, C∩E=∅ 是互斥和完备事件。

5. A'∩B' =(A∪B)' 是互斥和完备事件。

6. (A∩B) =∅ 是互斥的
     A、B、F 不是互斥事件。