格

设L是一个非空集合，它在两种二元运算下是封闭的，这两种运算被称为交运算和并运算，分别用∧和∨表示。 如果L满足以下公理，其中a、b、c是L中的元素，则L被称为格

1) 交换律: -
(a) a ∧ b = b ∧ a           (b) a ∨ b = b ∨ a

2) 结合律:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c)           (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) 吸收律: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a           (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

对偶性

格(L,∧ ,∨ )中任何语句的对偶性被定义为通过交换∧和∨获得的语句。

例如，a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a 的对偶是          a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

有界格

如果一个格L有最大元素1和最小元素0，则称该格L为有界格。

示例

1. 集合S的幂集P(S)在交集和并集的运算下是一个有界格，因为∅是P(S)的最小元素，而集合S是P(S)的最大元素。
2. 在通常的≤顺序下，正整数集I₊不是有界格，因为它有最小元素1，但不存在最大元素。

有界格的性质

如果L是一个有界格，那么对于任何元素a ∈ L，我们有以下恒等式

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

定理: 证明每个有限格L = {a₁,a₂,a₃....a_n}都是有界的。

证明: 我们已经给出了有限格

          L = {a₁,a₂,a₃....a_n}

因此，格L的最大元素是a₁∨ a₂∨ a_{3∨....∨an。}

此外，格L的最小元素是a₁∧ a₂∧a₃∧....∧a_n。

由于每个有限格都存在最大和最小元素。 因此，L是有界的。

子格

考虑格L的非空子集L₁。 如果L₁本身是一个格，即L的运算，则L₁被称为L的子格，即，当a ∈ L₁ 且 b ∈ L₁时，a ∨ b ∈ L₁ 且 a ∧ b ∈ L₁。

例子: 考虑所有+ve整数I₊在可除性运算下的格。 所有n > 1的除数的格D_n是I₊的子格。

确定D₃₀的至少包含四个元素的所有子格，D₃₀={1,2,3,5,6,10,15,30}。

解答: D₃₀的至少包含四个元素的子格如下

1. {1, 2, 6, 30}          2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30}          4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30}          6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

同构格

如果存在从L₁到L₂的双射，即f: L₁⟶ L₂，则称两个格L₁和L₂为同构格，使得f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) 且 f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

例子: 确定图中所示的格是否同构。

解答: 图中所示的格是同构的。 考虑映射f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}。例如f (b ∧ c) = f (a) = 1。 此外，我们有f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

分配格

如果对于L的任何元素a、b和c，格L满足以下分配性质，则称其为分配格

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

如果格L不满足上述性质，则称其为非分配格。

示例

1. 集合S的幂集P(S)在交集和并集的运算下是一个分配函数。 因为，
                       a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
             而且，对于P(S)的任何集合a、b和c，a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c)。
2. 图II中所示的格是一个分配格。 因为，它满足从1、2、3和4中取出的所有有序三元组的分配性质。

补元和有补格

设L是一个有下界o和上界I的有界格。 设a是L的元素， 如果a ∨ x = I 且 a ∧ x = 0，则称L中的元素x是a的补元

如果L是有界的且L中的每个元素都有一个补元，则称格L是有补的。

例子: 确定图中a和c的补元

解答: a的补元是d。 因为，a ∨ d = 1 且 a ∧ d = 0

c的补元不存在。 因为，不存在任何元素c使得c ∨ c'=1 且 c ∧ c'= 0。

模格

如果 a ≤ c 时，a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c，则称格(L, ∧,∨)为模格。

格的直积

设(L₁ ∨₁ ∧₁)和(L₂ ∨₂ ∧₂)是两个格。 则(L, ∧,∨)是格的直积，其中L = L₁ x L₂，其中L上的二元运算∨（并）和∧（交）是使得对于L中的任何(a₁,b₁)和(a₂,b₂)。

              (a₁,b₁)∨( a₂,b₂ )=(a₁ ∨₁ a₂,b₁ ∨₂ b₂)
且       (a₁,b₁) ∧ ( a₂,b₂ )=(a₁ ∧₁ a₂,b₁ ∧₂ b₂)。

例子: 考虑图中所示的格(L, ≤)，其中L = {1, 2}。 确定格(L², ≤)，其中L²=L x L。

解答: 格(L², ≤)如图所示