离散数学中的多对一函数

当定义域中至少有两个元素映射到同一个余定义域元素时，一个函数就被称为多对一函数。假设有两个集合，集合 A 和集合 B，以及一个函数 f。在多对一函数中，集合 A 中的两个或两个以上元素必须映射到集合 B 中的同一个元素。现在我们将学习多对一函数的定义、性质和示例。

多对一函数的定义

在多对一函数中，一个集合中的两个或两个以上元素映射到另一个集合中的同一个元素。假设有一个函数 f: x → y。对于多对一函数，在这个给定函数的定义域中，属于集合 A 的至少两个元素将只映射到这个给定函数的余定义域中属于集合 B 的同一个元素。这里，定义域集合的至少两个元素必须映射到余定义域集合的同一个元素。为了说明这一点，我们将考虑一个包含两个集合 A 和 B 的示例。这里集合 A = {a, b, c, d, e}，集合 B = {1, 2, 3}。集合 A 用来表示定义域，集合 B 用来表示值域，如下所示：

上述从集合 A 到集合 B 的函数 f 被称为多对一函数，因为集合 A 中的元素 a、b 和 c 都映射到集合 B 中的元素 1。这里 f = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 2), (e, 3)}。

如果余定义域中只有一个元素，在这种情况下，多对一函数将被称为常数函数。换句话说，如果定义域中的所有元素都映射到余定义域中的同一个元素，则该多对一函数将被称为常数函数。如果我们能够利用值域中的每一个元素，那么在这种情况下，多对一函数也将被称为满射函数（onto function）。

为了理解这一点，我们将考虑一个函数 f: A → B 的示例。这里集合 A 或定义域 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合 B 或余定义域 = {x, y, z}。这里 f = {(1, x), (2, x), (3, x), (4, y), (5, y), (6, z)}。该函数的映射描述如下：

在上述映射中，我们可以看到集合 A 中的元素 1、2 和 3 都映射到同一个元素 x。同样，集合 B 中的元素 4 和 5 都映射到同一个元素 y。这就是一个函数可以有多对一关系的方式。

多对一函数的性质

多对一函数有很多性质。其中一些描述如下：

• 在多对一函数中，定义域中至少有两个元素具有相同的余定义域值。
• 在函数定义域中的元素数量必须多于余定义域中的元素数量。
• 在多对一函数中，余定义域至少有 2 个定义域值。
• 与值域的值相比，余定义域的值总是较少。
• 如果多对一函数只包含一个余定义域元素，在这种情况下，我们可以将多对一函数称为常数函数。

多对一函数的示例

多对一函数有各种各样的例子。其中一些描述如下：

示例 1： 在这个例子中，我们有一个多对一函数 f。这里 f = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, b), (5, b), (6, c)}。现在我们需要确定该函数的范围和定义域。

解答： 从这个例子中，我们有 f = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, b), (5, b), (6, c)}。

所以从这个函数中，我们得到

定义域 = {1, 2, 3, 4}

值域 = {a, b, c}

在这个例子中，我们注意到定义域集合的元素（1, 2, 3）映射到值域集合的同一个元素（a）。因此，该函数定义域集合的元素与该函数的值域集合的元素之间存在映射关系，这使得该函数成为多对一函数。因此，上述函数 f 是一个多对一函数。

示例 2： 在这个例子中，我们有一个函数 f，使得 f(x) = x²。现在我们需要确定这个函数是否是多对一函数。

解答： 从这个例子中，我们有 f = x²。为了证明这个函数是否是多对一的，我们将首先假设一些定义域的值，然后从这些值中找到值域。之后，我们将理解这种函数的类型。

如果 x = 2，则

f(2) = 2² = 4

如果 x = -2，则

f(-2) = (-2)² = 4

如果 x = 3，则

f(3) = 3² = 9

如果 x = -3，则

f(-3) = (-3)² = 9

如果 x = 4，则

f(4) = 4² = 16

如果 x = -4，则

f(-4) = (-4)² = 16

对于定义域元素 x = 2，-2，我们得到值域 f(x) = 4。对于 x = 3，-3 的值，我们得到相同的值域 f(x) = 9。同样，对于 x = 4，-4 的值，我们得到相同的值域 f(x) = 16。因此，上述函数 f 是一个多对一函数。