皮亚诺公理 | 数系 | 离散数学

皮亚诺公理也可以称为皮亚诺的公设。一位意大利数学家于 1889 年在数系中引入了五种公理。这些公理用于为自然数（即 0, 1, 2, 3 等）提供严格的基础，可用于集合论、数论和算术。皮亚诺公理可以生成一组有限的规则和符号，从而能够生成无限集。

皮亚诺公理有五条，描述如下：

• 零是一个自然数。
• 在自然数中，每个自然数都有一个后继数。
• 任何自然数的后继数不能是零。
• 如果两个自然数具有相同的后继数，则这两个原始数相同。
• 如果一个集合包含 0，并且该集合中包含每个数的后继数，那么该集合将包含自然数。

要理解这个概念，我们还必须理解 **等价性**，其描述如下：

在数学公理化的情况下，我们不应假设任何事情。我们也不应假设诸如等价性如何运作等基本概念。在数系中，“=”仅用作符号，只要我们使用它来声明一些重要的属性。在本节中，我们将公理化地指定自然数 N。在深入研究之前，我们将建立“=”应具有的属性。第一个属性是每个自然数都必须等于它本身。

假设、公理或公设是进一步论证和推理的起点或前提。它是一种被假定为真的陈述。G. Peano 开发了公理，其描述如下：

1. P1. 0 ∈ N ; 0 是一个自然数

在皮亚诺公理的不同版本中，基本上有 5 条公理用 1 替换了 0。这产生了一组新的、完全相同的自然数，称为“正整数”。有了这个背景，我们将找出数学家是否会将数字 0 包含在自然数中。为此，将遵循标准做法，即包含 0 作为自然数。

此时，只有一个自然数可以保证存在，那就是 0。接下来的公理将使用后继数来构造其他自然数。顾名思义，后继函数是一种函数 S，其定义域为 N。因此，根据接下来的公理，共域 S 也为 N。

2. ∀x ∈ N ⇒ x=x ;

这是一种自反等价。等价公理的闭包是第四条公理，它规定，如果一个自然数和“任何事物”相等，那么那个“事物”也将是自然数。

3. ∀ x, y ∈ N ; and if x=y ⇒ y=x ;

这是一种对称等价。如果一个自然数和“另一个数”相等，在这种情况下，第二个数也将等于第一个数。这可以称为对称公理。

4. ∀ x, y, z ∈ N ; and if x=y & y = z ⇒ x=z;

这是一种传递等价。根据这个属性，假设我们有三个自然数，第一个数和第二个数相等，第二个数和第三个数相等。在这种情况下，第一个数也将等于第三个数。这可以称为传递公理。

5. ∀ a, b ; if a ∈ N and a = b ⇒ b

这是一种自然数。

6. P2. If x ∈ N ⇒ S(x) ∈ N。

在皮亚诺的早期，1 是第一个自然数，它被用在 0 的位置上。在皮亚诺公理中，最新的表述从数字 0 开始，因为在算术中，0 被视为加法单位元。

如果 x 是一个自然数，那么 x 的后继数也是一个自然数。

在公理中，S(x) 用于表示 x 的后继数。

直观地说，我们可以将 S(x) 理解为 x+1。

正如我们上面所知，关于自然数，但这还不够。我们距离拥有自然数还有很长的路要走。

自然数的单目表示由公理 1 和 6 如下描述：

接下来的两条公理将用于定义此表示的属性。

7. If n ∈ N ; S(n) ≠ 0 .

如果 n ∈ N，那么 n 的后继数不能是 0。

8. ∀ a, b ∈ N; if S(a) = S(b) ⇒ a = b。

这里 S 用作 **单射**，这意味着每个数字都有一个唯一的后继数。单射也称为一对一映射。

前面的公理有一些重要的含义。公理 1 排除了 N 可以简单定义为 1 和 0 的可能性。要证明这一点，我们将假设 S(0) = 1 已经存在，并且由于单射映射，S(1) = 1 将不可能。

借助公理 6，排除了 S(1) = 0 的可能性。因此，S(1) 将是另一个自然数，我们将称这个数字为 2。

因此，2 = S(1)。

出于相同的推理，S(2) 不能是 0、1 或 2。

因此，S(2) 将是另一个自然数，我们将称这些数字为 3。如果我们遵循相同的模式，我们可以得出结论，N 必须包含我们所知的 n 自然数。此时，我们知道 N 必须包含数字 0，并且我们也将知道它的后继数 1 = S(0)，后继数 2 = S(1)，后继数 3 = S(2)，等等。因此，这已经证明了每个数字都有一个唯一的后继数。

所以，如果出现两个后继数相同的情况，那将表明两个后继数指向同一个数字，因为每个数字总是有唯一的后继数。

9. If V is an inductive set; i.e., 0 ∈ V and every natural number n ∈ V, then S(n) ∈ V ⇒ N ⊂ V

根据以上 8 条公理，保证 {0, 1, 2, 3, ....} ∈ N。还有一个归纳集包含 {0, 1, 2, 3, ....}。公理 9 将产生一个结果，即 N ⊂ {0, 1, 2, 3,...} 必须为真。结果中，我们将得到我们想要的集合等式，即 N = {0, 1, 2, 3,....}。