离散数学中的论证

在离散数学中，论证可以被描述为哲学和逻辑推理的一部分。它也可以用于数学证明。在本节中，我们将展示逻辑推理和日常生活中的论证。在逻辑推理中，数学逻辑用于证明逻辑。证明可以被描述为一种有效的论证，用于确定数学陈述的真值（真或假）。**论证**可以被描述为一系列陈述或命题。它通常有前提和结论。前提用于证明其余的陈述，而结论用于描述最后的陈述。

**前提**将用 p1, p2, p3, ... , pk 表示，**结论**或最终陈述将用 q 表示。最终陈述可以使用符号“∴”来处理。论证将以以下形式表示：

如果一个论证的陈述是**前提**，在这种情况下，前提可以用来提供支持。如果一个论证的陈述是结论，在这种情况下，结论用于表明前提旨在提供支持。

总的来说，论证的目的是说服某人接受某个观点。如果有人不同意或对我们的观点或主张有疑问，通过论证，我们必须说服他接受我们的观点。**例如：**要开始论证，我们需要一个特定的观点，读者对此观点可能有所疑虑。读者在论证结束时必须被说服，并且不再对这个观点有任何疑虑。最后一个或结束的陈述也称为结论，其余的陈述也称为前提。

如果我们想好好地论证，我们必须站在读者的立场上，思考读者可能对我们的观点产生的疑虑。当我们听到“论证”这个词时，有时会觉得它很具攻击性和敌意，但事实并非如此。如果一个论证是好的，它将是相当冷静、公正和合理的。

论证的例子

示例 1

这种论证很常见，父母经常对孩子使用。它使用了一种被称为“反问”的技术，即我们试图表明另一个人的推理（在这个例子中是儿子）在被逻辑推导到其结论时是无效的。在这个例子中，儿子和父母争论：“我的朋友们要去野餐，所以我也想去。”父母试图表明儿子论证的失败之处。

论证的类型

论证基本上有三种类型：有效论证、演绎论证和归纳论证。

有效论证

有效论证可以被描述为一种论证，如果其所有前提都为真，那么该论证的结论也为真。如果一个有效论证包含真前提，则该论证被称为可靠论证。论证要么是可靠的或不可靠的，要么是有效的或无效的，我们没有中间地带。假设一个有效论证包含前提 p1, p2, p3, ..., pk 和结论 q。则有效论证将如下描述：

例如

我们可以通过检查真值表的关键行来检查论证的有效性。关键行是一种行，其中所有前提都显示为真值，并且这些真值也对应于结论的真值。

有效论证的例子

**例 1：**我们需要检查论证 (p ∨ q, p → r, q → r, ∴ r) 是否有效。

**解答：** 在这种情况下，前提由 p ∨ q, p → r, q → r 表示，结论由 r 表示。如果所有前提都为真，并且真前提也对应于结论的真值，则该陈述是有效的。为了区分前提和结论，我们将使用不同的颜色。前提使用灰色，结论使用红色。我们将通过真值表来证明，如下所示：

在此表中，所有灰色着色位置都包含真值。因此，所有这些着色行都是关键行，并且这些行对应于 r 的真值。所以在此表中，如果前提 (p ∨ q, p → r, q → r) 为真，则结论 (r) 也为真。因此，上述论证 (p ∨ q, p → r, q → r, ∴ r) 是**有效**的。

**例 2：**我们需要检查论证 (p → q, ∴ ∼ p → ∼ q) 是否有效。

**解答：** 在这种情况下，前提由 p → q 表示，结论由 ∼ p → ∼ q 表示。如果所有前提都为真，并且真前提也对应于结论的真值，则该陈述是有效的。为了区分前提和结论，我们将使用不同的颜色。前提使用灰色，结论使用红色。我们将通过真值表来证明，如下所示：

在此表中，关键行失败了，因为在第三行，前提 (p → q) 为真，而结论的值为假。因此，上述论证是**无效**的。

**例 3：**我们需要检查论证 (p → q, q → r, ∴ p ∨ q → r) 是否有效。

**解答：** 在这种情况下，前提由 p → q, q → r 表示，结论由 p ∨ q → r 表示。如果所有前提都为真，并且真前提也对应于结论的真值，则该陈述是有效的。我们将通过真值表来证明，如下所示：

在此表中，所有关键行都对应于结论的真值。因此，论证 (p → q, q → r, ∴ p ∨ q → r) 是**有效**的。

在逻辑学中，“有效”和“真”的含义是不同的。在有效性中，我们检查结论是否由前提得出；在真值中，我们查看陈述是否构成论证。根据前提的真值，一个完美有效的论证可能包含一个错误的结论。同样，根据前提的真值，一个无效的论证也可能包含一个真的结论。

**例如：**在这个例子中，我们将使用上述论证，即：

正如我们在上面的例 3 中所见，这个论证是完全有效的。所以我们将 p 解释为“我睡很多”，q 解释为“我学习不多”，r 解释为“我考试会考得好”。因此，这个陈述将被翻译为：“如果我睡很多，那么我学习不多。如果我学习不多，那么我考试会考得好。因此，如果我睡很多或不学习很多，我考试会考得好。”

我们已经看到，这个论证是完全有效的，但显然不是一个真实的结论。因为根据第一个假设，它是真的，而第二个假设是假的。因此，结论也将是假的。

演绎论证

在离散数学中，演绎论证是一种论证，如果前提为真，则结论的结果将始终为真。绝不会出现前提为真但产生了假结论的情况。所以我们可以说，对于有前提成功保证的论证，在这种情况下，结论将被称为演绎论证或有效论证。

演绎论证的例子

示例 1

示例 2

示例 3

所有例子中的前两个陈述都是真实的，因此结论也将是真实的。

**例 4：**有效的演绎论证

在这个例子中，我们可以看到结论跟随“所以”这个词。如果上面描述的两个前提是真的，它将保证结论的真实性。没有任何方法可以帮助我们确定这两个前提是否为真。所以我们无法说该论证是演绎上可靠的还是不可靠的。它要么是其中一种，但我们不知道是哪一种。如果我们发现给定的论证包含错误的前提，因此不可靠，那么它仍然是有效的，这是无法改变的事实。

归纳论证

归纳论证是由论证者意图的。如果所有前提都显示为真值，那么结论不可能是假的，那么该论证就被称为强论证。在归纳论证中，前提的真实性为我们提供了一个很好的理由，使我们可以相信结论很可能是真的。在本节中，我们将使用“强”这个词来表示成功的归纳论证，但实际上对此没有标准术语。如果归纳论证不强，它将被称为弱论证。但没有明确的界限可以区分强和弱。

**例如：**假设有一个论证“狗咬我”。如果我们无法想到任何相关条件说明下次为什么会和上次不同，那么这个论证就被称为更强的论证。如果出现了“我曾经过那只狗”这种情况，这个论证会变得更强。如果出现了“我走过那只狗”的情况，这个论证会变得更弱。如果下次的条件与过去的相关条件不同，论证就会变弱。例如，过去狗被关在门后面，但下次门会打开。

如果我们获得了一些新的前提（证据），在这种情况下，归纳论证会受到影响，但演绎论证不会发生同样的情况。**例如：**这里我们将描述一个强的归纳论证，如下所示：

但是，当添加以下前提时，上述归纳论证的强度会发生根本性改变：

示例

上述论证几乎肯定是真的。这种论证方式很容易被大多数人接受。然而，就像演绎论证一样，我们注意到这不是一个逻辑上的确定性问题，而是一个**概率**问题。因为有可能外星人会来摧毁太阳。由于这种破坏，太阳将不再升起。这种情况极其不可能，但并非逻辑上不可能。

所以，从严格的逻辑术语来看，演绎论证比归纳论证似乎更强。归纳论证更重要，并且具有关键优势。在我们日常生活中，我们几乎所有的决定都是通过类似的归纳推理来做出的：

根据论证中使用的词语，我们无法区分归纳论证和演绎论证。我们可以通过了解论证者的意图来做到这一点。这可以通过论证者对前提和结论之间关系的信念来确定。如果论证者相信前提的真实性确实确立了结论的真实性，那么该论证就被称为**演绎**论证。如果论证者相信前提的真实性为我们提供了一个很好的理由，使我们可以相信结论很可能是真的，那么该论证就被称为**归纳**论证。假设有一些人正在评估论证的质量，而他们对论证者的意图没有任何信息。在这种情况下，他们必须同时检查两种论证。在这里，我们评估论证，以便我们可以查看它是归纳上强还是演绎上有效。

论证的重要性

在日常生活、离散数学以及许多其他地方，最重要的技能是论证。如果我们精通说服的艺术，我们将非常容易地说服别人。由于这种技能，我们将非常成功地在职业生涯、大学或学校中发展。假设我们非常擅长论证并且具有说服力，那么我们可以说服我们的父母、老师、经理、老板或领导接受我们的观点。在这种情况下，我们将所向披靡。因此，我们认识到论证的力量非常巨大。

我们也应该知道好论证和坏论证的区别。我们可以在新闻频道、日常生活或学校的谈话中看到好论证和坏论证。在批判性思维的情况下，论证可以被描述为一项基本任务。假设一个人不具备论证的技能。在这种情况下，广告商或政治家很容易误导他，因为他们总是试图说服他购买他们的产品，即使产品不好，或者说服他投票给他们。

论证与争吵的区别

在观看新闻频道上的体育分析和政治辩论时，许多人有时会产生一种印象，认为论证是具有攻击性和敌意的。他们认为其主要目标是打败对手，而不是说服任何人。但事实并非总是如此。事实上，一个论证如果源于友谊和同情，就会被认为是最好的。如果我们的朋友和我们有不同的观点，他们会总是试图以一种能够建立理解的方式来解释他们观点的推理。因此，就会产生一个友好的辩论或论证。

我们应该在生活中学习和遵循的最重要的技能是论证。无论是在个人还是职业方面，我们都无法避免在我们的关系中一定程度的分歧和冲突。这种冲突可能与你的老板、员工、妻子、父母或任何人发生。如果我们不能理性地、有逻辑地进行论证，我们将总是以争吵告终。在论证结束时，我们必须达成一致。如果不可能达成一致，我们至少应该理解为什么不可能达成一致。而在**争吵**的情况下，我们会表达我们的情绪，如受伤、愤怒。在争吵时，我们从不关心对方的观点。在愤怒中，我们通常会对对方大喊大叫。相反，如果我们可以进行正确的论证，这个问题就可以解决。在争吵的情况下，情况通常会变得更糟。