子群

如果一个群 G 的非空子集 H 本身在 G 的运算下也是一个群，我们就说 H 是 G 的一个子群。

定理：- 群 G 的一个子集 H 是 G 的一个子群，如果

• 单位元 a∈ H。
• H 在 G 的运算下是封闭的，即如果 a, b∈ H，则 a, b∈ H，并且
• H 在逆元下是封闭的，即如果 a∈ H，则 a^-1∈ H。

循环子群:-

如果存在一个元素 x∈ G，使得 K 的每个元素都可以写成 xⁿ 的形式（对于某个 n ∈ Z），那么群 G 的一个子群 K 称为循环子群。

元素 x 称为 K 的生成元，我们写成 K= <x>

循环群:-

在 G=的情况下，我们说 G 是循环群，并且 x 是 G 的生成元。 也就是说，如果存在一个元素 x∈ G，使得 G 的每个元素都可以写成 xⁿ 的形式（对于某个 n∈ Z），则称群 G 为循环群。

示例： 群 G= {1, -1, i,-i} 在通常的乘法下是一个有限循环群，其中 i 作为生成元，因为 i¹=i,i²=-1,i³=-i 和 i⁴=1

阿贝尔群

让我们考虑一个代数系统 (G,*)，其中 * 是 G 上的一个二元运算。 如果该系统 (G,*) 满足群的所有性质加上一个额外的以下性质，则称其为阿贝尔群

(1) 运算 * 是可交换的，即
a * b = b * a ∀ a,b ∈G

示例： 考虑一个代数系统 (G, *)，其中 G 是所有非零实数的集合，而 * 是由下式定义的二元运算

证明 (G, *) 是一个阿贝尔群。

解决方案

封闭性： 集合 G 在运算 * 下是封闭的，因为 a * b = 是一个实数。 因此，它属于 G。

结合律： 运算 * 是结合的。 设 a,b,c∈G，那么我们有

单位元： 为了找到单位元，我们假设 e 是一个 +ve 实数。 那么 e * a = a，其中 a ∈G。

因此，G 中的单位元是 4。

逆元： 假设 a ∈G。 如果 a^-1∈Q 是 a 的逆元，那么 a * a^-1=4

因此，G 中元素 a 的逆元是

交换律： G 上的运算 * 是可交换的。

因此，代数系统 (G, *) 是封闭的、结合的、具有单位元、逆元和交换律的。 因此，系统 (G, *) 是一个阿贝尔群。

群的乘积

定理： 证明如果 (G₁,*₁) 和 (G₂,*₂) 是群，则 G = G₁ x G₂ 即 (G, *) 是一个群，其运算定义为 (a₁,b₁)*( a₂,b₂ )=(a₁,*₁,a₂, b₁ *₂ b₂)。

证明： 为了证明 G₁ x G₂ 是一个群，我们必须证明 G₁ x G₂ 具有结合律运算符，具有单位元，并且每个元素都存在逆元。

结合律。 设 a, b, c ∈ G₁ x G₂，那么

因此,        a * (b * c) = (a₁,a₂ )*((b₁,b₂)*(c₁,c₂))
                = (a₁,a₂ )*(b₁ *₁ c₁,b₂ *₂ c₂)
                = (a₁ *₁ (b₁ *₁ c₁ ),a₂ *₂ (b₂ *₂ c₂)
                = ((a₁ *₁ b₁) *₁ c₁,( a₂ *₂ b₂) *₂ c₂)
                = (a₁ *₁ b₁,a₂ *₂ b₂)*( c₁,c₂)
                = ((a₁,a₂)*( b₁,b₂))*( c₁,c₂)
                = (a * b) * c。

单位元： 设 e₁ 和 e₂ 分别是 G₁ 和 G₂ 的单位元。 那么，G₁ x G₂ 的单位元是 e=(e₁,e₂ )。假设 a ∈ G₁ x G₂

那么,        a * e = (a₁,a₂)*( e₁,e₂)
                = (a₁ *₁ e₁,a₂ *₂ e₂)
                = (a₁,a₂)=a

同样，我们有 e * a = a。

逆元： 为了确定 G₁ x G₂ 中元素的逆元，我们将逐个分量地确定它，即
                a^-1=(a₁,a₂)^-1=(a₁^-1,a₂^-1 )

现在为了验证这是确切的逆元，我们将计算 a * a^-1 和 a^-1*a。

现在，         a * a^-1=(a₁,a₂ )*(a₁^-1,a₂^-1 )
                = (a₁ *₁ a₁^-1,a₂ *₂ a₂^-1)=( e₁,e₂)=e

同样，我们有 a^-1*a=e。

因此，(G₁ x G₂,*) 是一个群。

一般来说，如果 G₁,G₂,....G_n 是群，那么 G = G₁ x G₂ x.....x G_n 也是一个群。

陪集

设 H 是群 G 的一个子群。H 在 G 中的一个左陪集是 G 的一个子集，其元素可以表示为 xH={ xh | h ∈ H } (对于任何 x∈ G)。 元素 x 称为陪集的代表。 类似地，H 在 G 中的一个右陪集是一个子集，可以表示为 Hx= {hx | h ∈H } (对于任何 x∈G)。 因此，复数 xH 和 Hx 分别称为左陪集和右陪集。

如果群运算是加法 (+)，则左陪集表示为 x + H={x+h | h ∈H}，右陪集表示为 H + x = {h+x | h ∈ H}