群论在离散数学中的应用

为了学习群论在离散数学中的应用，我们将首先学习群论，具体描述如下：

群论

在当今的计算机科学、数学、科学和统计学中，群被描述为最关键的组成部分。群论是一种自然语言。在 19 世纪，群论被发现用于解决代数表达式。在现代代数中，群论可以被描述为对群的研究。用通俗的话来说，群论可以被描述为对一组组件的研究。这里的群是一种元素的集合，这些元素被整合在一起，以便对它们执行一些操作。

借助群论，可以轻松描述物理系统的对称性。群包含一个二元运算和一组元素。如果群包含有限数量的组件，则称其为有限群。群的阶由组件的数量描述。还存在子群，可以将其描述为群的一个子集，该子集在任何群下是封闭的。

我们可以将二元运算应用于集合的两个元素，这两个元素共同满足某些公理。这意味着如果我们通过二元运算将集合中的两个元素组合起来，它将生成群中的另一个元素，并且满足可以称为恒等、结合、封闭和逆的四个假设。这四个假设也可以称为群公理。借助乘法运算，可以执行整数群。

群论也可以称为抽象代数的一个分支。在离散数学中，几何理论群可以称为对通过对空间、拓扑和群的代数性质的几何性质进行各种研究而得到的有限生成的群的研究。群论是一种用于确定对称性的工具。在群论中，有两个基本且有影响力的概念：对称组件和对称操作。

群论的性质

在这里，我们将学习离散数学中群论的性质。在这里，运算将用点（.）表示，群将用 G 表示。群 G 是一个无限或有限的组件集合，它通过二元运算或群运算结合在一起。用于确定群的运算称为群运算。在该运算下，一个集合将被视为一个群。在群论中，公理描述如下：

闭包

假设一个群 G 包含两个元素“a”和“b”。如果该元素包含以下关系，则该元素为闭集：

结合律

假设一个群 G 包含元素“a”、“b”和“c”。如果该元素包含以下关系，则该元素为结合律：

身份

假设一个群 G 包含元素“a”以及另一个元素“e”。如果该元素包含以下关系，则该元素为恒等元：

这里，元素“e”也可以称为 G 的恒等元。

否

假设一个群 G 包含两个元素“a”、“b”，并且还包含一个逆元素“e”。如果该元素包含以下关系，则元素“b”被称为“a”的逆元：

还有一种表示“a”的逆元的方式，描述如下：

群论的应用

在离散数学和科学中，群论用于研究称为群的代数结构。在抽象代数中，群是中心。群也出现在其他著名的代数结构中，如向量空间、域、环。这些其他代数结构具有公理和附加运算。代数的许多部分都受到群论方法的影响。群论有两个分支：李群和线性代数群。这些分支都取得了进展。

借助对称群，可以轻松模拟各种物理系统，例如氢原子和晶体原子。因此，群论及其密切相关的理论被称为表示论，因为它在化学、物理和材料科学领域有许多重要的应用。

群论有许多有益的应用和多方面的优势。在这里，群也出现在各种看似不相关的实体中。例如：群论可以类比于几何和拓扑、晶体学、量子力学、分析和代数，以及更多领域。其中一些描述如下：

物理

群论在**物理学**中起着不可或缺的作用。在**原子和分子光谱学**中，群论用于确定光谱跃迁的选择规则。

化学

通过在**化学**中应用群论，我们可以分析分子的晶体和对称结构。它用于包含模块的光谱性质，也包含模块的各种物理和化学性质。在分子轨道理论领域，强大的标准工具是群论，因为它提供了研究分子性质的能力。

电脑

在对称性领域，群论可以被称为强大的工具。图论对医学图像分析、计算机视觉、机器人学和计算机图形学等领域的研究产生了巨大影响。

数学

群论能够对相同的数学对象进行分类，并且它们通常处理具有对称性的对象。群论在数学函数和运算以及几何图形中有用。**例如：**圆具有高度对称性，这意味着如果我们旋转圆，它将保持不变。

在**公钥算法**和**密码学**中，借助陪集、群和子群，可以实现顺畅的数据传输。

根据最近的研究，群论也被应用于音乐筛选。

群论的重要性

在群论中，我们将研究称为群的代数对象。我们可以将这些群用于模型，它也研究特定对象的对称性。借助伽罗瓦理论，我们可以解释群论。在这个定理中，将找到一种新的方法来将群应用于多项式。该多项式将为五次多项式不可解性提供证明。

群在拓扑学中，尤其是在代数拓扑中，主要用于捕获空间的某些不变量。公钥密码学也使用群论，用于有效地执行某些计算。整数的余数可以通过循环群建模，用于执行大型计算。

群论的例子

群论的各种例子描述如下：

示例 1

假设有一个群 G。现在，我们需要证明元素 e ∈ G 是唯一的。我们还需要证明每个元素 a ∈ G 都具有唯一的逆元。语法 'a^-1' 将用于表示唯一的逆元。

解决方案

这里我们将考虑两个恒等元 e 和 e'。根据定义，我们将得到 e' = e * e' = e。

类似地，我们将假设 b 和 b' 是 a 的逆元。之后，我们将得到以下结果：

b = b * e

= b * (a * b')

= (b * a) * b'

= e * b'

= b'

示例 2

假设群 G 包含两个元素 'a' 和 'b'，以及它们的逆元 'a^-1' 和 'b^-1'。现在我们需要找出 'ab' 的逆元。

解决方案

使用以下方式，我们可以描述 'a' 和 'b' 乘积的逆元。

a * b = a^-1 * b^-1

我们有

(a * b) * (a^-1 * b^-1)

= a (b * b^-1) a^-1

= aea^-1 = e

类似地，

(a^-1 * b^-1) * (a * b) = e

因此，

(ab)^-1 = a^-1 b^-1