半群

让我们考虑一个代数系统 (A, *), 其中 * 是 A 上的一个二元运算。那么，如果系统 (A, *) 满足以下性质，则称其为半群

1. 运算 * 是集合 A 上的封闭运算。
2. 运算 * 是一个结合运算。

示例： 考虑一个代数系统 (A, *), 其中 A = {1, 3, 5, 7, 9....}, 是正奇整数的集合，* 是一个二元运算，表示乘法。 确定 (A, *) 是否是一个半群。

解决方案： 封闭性： 运算 * 是一个封闭运算，因为两个正奇整数的乘积是一个正奇数。

结合性： 运算 * 是集合 A 上的一个结合运算。由于对于每个 a, b, c ∈ A, 我们有

                (a * b) * c = a * (b * c)

因此，代数系统 (A, *) 是一个半群。

子半群

考虑一个半群 (A, *), 并令 B ⊆ A。那么，如果集合 B 在运算 * 下是封闭的，则系统 (B, *) 称为子半群。

示例： 考虑一个半群 (N, +), 其中 N 是所有自然数的集合，+ 是加法运算。 代数系统 (E, +) 是 (N, +) 的子半群，其中 E 是正偶整数的集合。

自由半群

考虑一个非空集合 A = {a₁,a₂,.....a_n}。

现在，A* 是 A 的元素的所有有限序列的集合，即 A* 由可以从 A 的字母表中形成的所有单词组成。

如果 α,β,and,γ 是 A* 的任何元素，那么 α,(β. γ)=( α.β).γ。

这里 ° 是一个连接操作，如上所示，它是一个结合操作。

因此 (A*,°) 是一个半群。这个半群 (A*,°) 称为由集合 A 生成的自由半群。

半群的乘积

定理： 如果 (S₁,*) 和 (S₂,*) 是半群，那么 (S₁ x S₂*) 是一个半群，其中 * 定义为 (s₁',s₂')*( s₁'',s₂'')=(s₁'*s₁'',s₂'*s₂'' )。

证明： 半群 S₁ x S₂ 在运算 * 下是封闭的。

* 的结合性。设 a, b, c ∈ S₁ x S₂

那么,     a * (b * c) = (a₁,a₂ )*((b₁,b₂)*(c₁,c₂))
               = (a₁,a₂ )*(b₁ *₁ c₁,b₂ *₂ c₂)
                = (a₁ *₁ (b₁ *₁ c₁ ),a₂ *₂ (b₂ *₂ c₂)
                = ((a₁ *₁ b₁) *₁*₁,( a₂ *₂ b₂) *₂ c₂)
               = (a₁ *₁ b₁,a₂ *₂ b₂)*( c₁,c₂)
                = ((a₁,a₂)*( b₁,b₂))*( c₁,c₂)
                = (a * b) * c.

由于 * 是封闭的且结合的。因此，S₁ x S₂ 是一个半群。

幺半群

让我们考虑一个代数系统 (A, o), 其中 o 是 A 上的一个二元运算。那么，如果系统 (A, o) 满足以下性质，则称其为幺半群

1. 运算 o 是集合 A 上的封闭运算。
2. 运算 o 是一个结合运算。
3. 存在一个单位元，即运算 o。

示例： 考虑一个代数系统 (N, +), 其中集合 N = {0, 1, 2, 3, 4...}。自然数的集合，+ 是加法运算。确定 (N, +) 是否是一个幺半群。

解决方案：(a) 封闭性： 运算 + 是封闭的，因为两个自然数的和。

(b)结合性： 运算 + 具有结合性，因为我们有 (a+b)+c=a+(b+c) ∀ a, b, c ∈ N。

(c)单位元： 集合 N 中存在一个单位元，即运算 +。元素 0 是一个单位元，即运算 +。由于运算 + 是封闭的、结合的，并且存在一个单位元。因此，代数系统 (N, +) 是一个幺半群。

子幺半群

让我们考虑一个幺半群 (M, o), 并且令 S ⊆M。那么 (S, o) 被称为 (M, o) 的子幺半群，当且仅当它满足以下性质

1. S 在运算 o 下是封闭的。
2. 存在一个单位元 e ∈ T。

示例： 让我们考虑一个幺半群 (M, *), 其中 * 是一个二元运算，M 是所有整数的集合。那么 (M₁, *) 是 (M, *) 的子幺半群，其中 M₁ 定义为 M₁={aⁱ│i 从 0 到 n, a 是正整数，并且 a∈M}。