条件语句与双条件语句

条件语句

设 p 和 q 是两个命题，则“如果 p 则 q”是一个复合命题，记作 p→ q，称为条件语句或蕴涵。当且仅当 p 为真，q 为假时，蕴涵 p→ q 为假；否则，它总是为真。在这个蕴涵中，p 称为假设（或前件），q 称为结论（或后件）。

例如： 下面是条件语句。

1. 如果 a = b 且 b = c，则 a = c。
2. 如果我得到钱，我将购买一台电脑。

条件语句的变化

逆否命题： 命题 ~q→~p 称为 p →q 的逆否命题。

逆命题： 命题 q→p 称为 p →q 的逆命题。

否命题： 命题 ~p→~q 称为 p →q 的否命题。

示例 1： 证明 p →q 及其逆否命题 ~q→~p 在逻辑上是等价的。

解答： 构建两个命题的真值表

由于两种情况下的值相同，因此两个命题等价。

示例 2： 证明命题 q→p 和 ~p→~q 不等价于 p →q。

解答： 构建所有上述命题的真值表

由于表中 p →q 的值不等于 q→p 和 ~p→~q 的值，因此它们两者都不等于 p →q，但它们本身在逻辑上是等价的。

双条件语句

如果 p 和 q 是两个命题，则“p 当且仅当 q”是一个复合命题，记作 p ↔ q，称为双条件语句或等价。当且仅当 p 和 q 都为真，或者 p 和 q 都为假时，等价 p ↔ q 才为真。

例如： (i) 两条直线平行当且仅当它们具有相同的斜率。
(ii) 你将通过考试当且仅当你努力学习。

示例： 证明 p ↔ q 等价于 (p →q) ∧(q→p)。

解答： 构建两个命题的真值表

由于真值表相同，因此它们在逻辑上是等价的。证明完毕。

对偶原理

如果两个公式 A₁ 和 A₂ 可以通过将 ∧（AND）替换为 ∨（OR）以及将 ∨（OR）替换为 ∧（AND）从一个公式得到另一个公式，则称它们互为对偶。另外，如果公式包含 T（真）或 F（假），则将 T 替换为 F，将 F 替换为 T 来获得对偶。

注 1：连接词 ∧ 和 ∨ 互为对偶。
2. 类似于 AND 和 OR，↑ (NAND) 和 ↓ (NOR) 互为对偶。
3. 如果命题的任何公式是有效的，则它们的对偶也有效。

命题的等价性

如果两个命题在所有情况下都具有完全相同的真值，则称它们在逻辑上是等价的。

表 1 包含基本逻辑等价表达式

命题代数定律

示例： 考虑以下命题

它们是否等价？

解答： 构建两者的真值表