离散数学中单射与满射问题

单态射

在泛代数或抽象代数中，单态射可以被描述为内射同态。单态射也称为单态或单射态射。以下符号用于表示从 X 到 Y 的单态射

假设有两个对象 X 和 Y，以及另一个对象 Z。如果对于 Z 以及从对象 Z 到对象 X 的任意一对态射 g1 和 g2，从 X 到 Y 的态射 f 满足条件，即 **“如果 fg1 = fg2，则 g1 = g2”**，那么 f 将被称为单态射。有些人不说 f 是单态射，而是说“f 是单的”或“f 是单射”。

如果态射 f 是单的，我们可以在左侧将其抵消。为此，我们可以遵循上述 fg 的含义。

单态射是一种与满态射对偶的概念，这意味着在范畴 C 中，单态射是双重范畴 Cop 中的满态射。因此，单态射是每个截面，满态射是每个收缩。

单态射也可以描述为内射函数的范畴化推广。这种内射函数也称为一对一函数。因此，内射和一对一都是相同的，但内射是法语名称，一对一是德语名称。内射这个术语在很大程度上取代了一对一。在某些范畴中，内射这个术语与它们的传统对应物不符，但在其余范畴中则符合。单态射这个术语更具普遍性。

与可逆性的关系

左可逆态射必然是单的：如果 l 是 f 的左逆元，在这种情况下，f 是单的，因为

左可逆态射也称为 **分裂单态射。**

然而，单态射不需要是左可逆的。**例如：**假设存在所有群的范畴 **Group**，并且它们之间也存在群态射。如果 H 是 G 的子群，则包含 f : H → G 总是单态射。但是，如果 H 在 G 中包含一个正规补，在这种情况下，f 将在范畴中包含一个左逆元。

示例

如果态射在一个**具体范畴**中，并且其底层函数是内射的，那么每个态射都将是单态射。我们也可以借助其他词来描述这个概念。据此，如果态射用于描述集合之间的函数，那么在**范畴论意义上**，任何作为内射函数的态射都必定是单态射。**集合范畴**中反之亦然，因此我们可以说单态射恰好是内射态射。**代数范畴**也包含反之。这是因为我们有一个单个生成元的自由对象。在其他类型的范畴中，例如任何阿贝尔范畴、所有环和所有群，这个陈述也将是正确的。

性质

• 在拓扑中，每个单态射都是一个等化子，如果存在任何既是全形又是单形的映射，那么它将是一个同构。
• 每个同构都是单的。

满态射

在泛代数或抽象代数中，满态射可以描述为满同态或映上同态。单态射也称为满态射或映上态射。以下符号用于表示满态射

假设有两个对象 X 和 Y，以及另一个对象 Z。如果对于 Z 以及从对象 Y 到对象 Z 的任意一对态射 g1 和 g2，从 X 到 Y 的态射 f 满足条件，即 **“如果 g1f = g2f，则 g1 = g2”**，那么 f 将被称为**满态射**。有些人不说 f 是满态射，而是说“f 是满的”或“f 是映上”。

如果态射 f 是全形，我们可以在右侧将其抵消。为此，我们可以遵循上述 fg 的含义。

不幸的是，我们习惯上从右到左书写函数的组合。在上图中，我们可以看到 f 位于左侧，并且组合从左到右进行。但是，如果我们尝试书写函数的组合，我们总是选择从右到左书写，即 gf。当我们谈论从右侧抵消 f 时，我们指的不是交换图的右侧。我们实际上是指表达式 gf 的右侧。

**满态射**也可以描述为内射函数的类比，但这两个概念并不完全相同。它们之间存在一些差异。单态射是满态射的一种对偶概念，这意味着在范畴 C 中，满态射是双重范畴 Cop 中的单态射。

在代数意义上，每个满射在范畴论的意义上都是满射，但在所有其他范畴中，此陈述的反向不成立。因此，总而言之，我们可以说在本节中，我们使用范畴论意义上的满射一词。

示例

在一个**具体范畴**中，如果态射的底层函数是满射，那么每个态射都将是满射。在各种感兴趣的具体范畴中，此反向也成立。**例如：**在这里，我们将有各种范畴，其中满射将恰好是底层集合上的满射或映上态射，描述如下

集合 (Sets)

它可以描述为集合和函数。如果我们想证明集合中每个满态射 f: X → Y 都是满射，我们可以通过将其与两个范畴组合来实现。第一个范畴中，函数 g1: Y → {0, 1} 是图像 f(x) 的特征函数，第二个范畴中，映射 g2: Y → {0, 1} 是常数 1。

关系

它可以用带有二元关系和关系保持函数的集合来描述。这里可以使用我们在集合中使用的相同证明。上述证明将为 {0, 1} 提供完整关系 {0, 1} * {0, 1}。

Pos

它可以用偏序集和单调函数来描述。如果 f: (X, ?) → (Y, ?) 不是满射，那么我们将选取 Y/f(X) 中的 yo，并假设两件事。第一件事是 g1: Y → {0, 1} 是 {y | y0 ? y} 的特征函数，第二件事是 g2: Y → {0, 1} 是 {y | y0 < y} 的特征函数。如果 {0, 1} 提供标准排序 0 < 1，那么这两个映射将是单调的。

Grp

它可以描述为群和群同态。在奥托·施莱尔的帮助下，成功地得出了关于群中每个满同态都是满射的结果。在 Linderholm 1970 中，我们可以找到关于此的基本证明。

FinGrp

它可以描述为有限群和群同态。在施莱尔的帮助下，我们也可以在这种情况下建立证明，该证明已在 Linderholm 1970 中给出。

Ab

它可以描述为阿贝尔群和群同态。

K-Vect

它可以描述为场上的向量空间，以及 K 线性变换。

Mod- R

它可以用环 R 上的右模和模同态来描述。在这里，我们将通过推广上述两个例子来证明在 Mod-R 中，每个满同态 f: X → Y 都是满射。为此，我们将把这个满同态与规范商映射 g1: Y → Y / f(X) 和零映射 g2: Y → Y/f(X) 进行组合。

顶部

它可以描述为拓扑空间和连续函数。我们将使用与集合中相同的过程来证明在拓扑中每个满射都是满射。该集合将为我们提供 {0, 1}。在这里，我们将使用不可区分拓扑，它用于确保所有考虑的映射都是连续的。

HComp

它可以描述为紧致豪斯多夫空间和连续函数。如果存在 f: X → y 不是满射的情况，那么我们将假设 Y-fX 中的 y。因为我们知道 Fx 是封闭的。在乌里森引理的帮助下，它包含一个连续函数 g1: Y → {0, 1}，使得 g1 在 fX 上为 0，在 y 上为 1。最后，我们将 f 与零函数 g2: Y → {0, 1} 和 g1 组合。

满态射也包含许多无法实现满射的具体范畴。其中一些范畴描述如下

Mon

它可以描述为幺半群。在**幺半群范畴**中，包含映射 N → Z 表示一个非满射的满态射。我们可以通过假设从 Z 到某个幺半群 M 的两个不同映射 g1 和 g2 来证明这一点。假设 Z 中存在某个 n。在这种情况下，g1(n) ≠ g2(n)，所以 g1(-n) ≠ g2(-n)。因此，我们已经看到 n 或 -n 在 N 中。因此，g1 和 g2 在 N 上的限制不相等。

环形

在环的范畴中，包含映射 Z → Q 可以显示一个非满射的满射。我们能够通过确定其在 Z 上的作用来确定 Q 上的任何环同态。

Haus

它可以描述为豪斯多夫空间。满态射可以描述为连续函数，在豪斯多夫空间的范畴中包含稠密的图像。**例如：**包含映射 Q → R 可以显示一个非满射的满态射。

单态射和满态射的异同

在任何范畴中，同构既是单态射也是满态射。换句话说，我们可以说一个同构既是单的也是满的。在某些范畴中，其逆命题成立，但在其他范畴中则不成立。

集合和群

在集合范畴中，从对象 X 到对象 Y 的函数 f 如果是满射，则称为满态射。同样，如果函数在集合范畴中是内射的，则为单态射。

群的范畴也是类似的，这意味着如果群同态是内射的，则它是单态射；如果它是满射的，则它也是满态射。

幺半群

回想一下，幺半群与群相同，但它不一定有逆元。这意味着这里我们将有一个结合律运算和一个单位元。

为此，我们假设包含加法的非负整数 N，并假设整数 Z。然后，我们将假设一个将 N 包含在 Z 中的包含映射 f。在这种情况下，f 将是单态射和内射的。这个映射是同态的，但不是满射的。这是因为我们可以通过找出它在正整数上的值来确定从整数到另一个幺半群的同态。共域的一半仍然可以包含在其范围内，但我们可以在右侧将其抵消。

所以最后，存在一个函数，它既是单态射又是满态射，但它不是同构。

环形

如果环同态是内射的，则称为单形。但在幺半群的情况下，环同态不需要是满射才能成为满形。

**例如：**在这里，我们可以通过确定其在整数上的值来找出环同态。我们将采用从整数到有理数的包含映射。所以我们可以说包含映射是一个满同态，而不关心它是否是满射。

顺便说一下，域之间的同态是单的。