离散数学中的集合性质

集合可以被描述为一组定义明确的对象的集合。例如，集合的例子可以用小于20的偶数集合来描述。集合还有一个例子，即1到10之间的自然数集合。如果我们尝试改变集合元素的顺序，它不会对集合产生任何影响。如果我们替换一个或多个集合的元素，在这种情况下，集合将保持不变。在这里，我们将学习集合的重要性质。以下符号用于描述集合：

上述符号可以读作“X是一个包含三个元素a、b和c的集合”。我们用大括号“{ }”将集合的元素括起来。

要理解集合的性质，我们必须了解以下概念：并集、交集、空集、全集。这些概念描述如下：

并集

如果我们有两个集合并且它们之间存在并集操作，这意味着结果集将包含这两个集合中呈现的所有元素。符号“U”用于表示并集。通常，“或”字用于描述并集。假设有两个集合X和Y。这些集合的并集将由集合(X U Y)表示，可以读作X并Y。结果集将包含集合X和集合Y的所有元素。结果集不会包含重复的元素。

例如：在这个例子中，我们有两个集合X和Y，其中X = {3, 4, 6, 7}，Y = {1, 2, 3, 4, 5}。现在我们必须确定这两个集合的并集。

解决方案

交集

如果我们有两个集合并且它们之间存在交集操作，这意味着结果集将包含这两个集合中呈现的所有共同元素。符号“⋂”用于表示交集。通常，“和”字用于描述交集。假设有两个集合X和Y。这些集合的交集将由集合(X ⋂ Y)表示，可以读作X交Y。结果集将包含集合X和集合Y的共同元素。结果集不会包含重复的元素。

例如：在这个例子中，我们有两个集合X和Y，其中X = {3, 4, 6, 7}，Y = {1, 2, 3, 4, 5}。现在我们必须确定这两个集合的交集。

解决方案

空集

空集也称为空集合。它是一种不包含任何元素的集合。符号∅用于表示空符号。因此，空集是集合不包含任何元素的唯一逻辑方式。

全集

全集是一种包含所有相关集合元素的集合。在全集中，元素不会重复。假设有两个集合X和Y，其中X包含所有偶数，即X = {2, 4, 6, 8,....}，Y包含所有奇数，即Y = {1, 3, 5, 7,.....}。那么全集将包含所有自然数，即U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,....}。全集还有一个例子，描述如下：

假设有两个集合X和Y，其中X = {0, 1, 2, 3}，Y = {0, x, y, z}。现在与集合X和Y相关的全集描述如下：

U = {0, 1, 2, 3, x, y, z}。

集合的基本性质

性质1：交换律

根据交换律，如果我们改变集合元素的顺序，那么这种改变不会影响操作的结果，或者说操作的结果是相同的。例如：假设一个集合用“X”表示，操作用符号“#”表示。如果一个集合中有两个元素x和y，那么集合X的交换律通过操作#描述如下：

这个表达式表明，对于集合X、集合Y和操作#，交换律始终成立。这意味着无论我们从X中选择哪些元素并将其放在x和y的位置，x # y的结果和y # x的结果将始终保持不变。并集和交集都满足交换律。所以：

示例：在这个例子中，我们有两个集合X和Y，其中X = {l, m, n, o, p, q}，Y = {m, n, o, r, s, t}。在这里，我们必须验证这些集合的并集和交集的交换律。

解决方案

给定集合X和Y当且仅当X ⋃ Y = Y ⋃ X且X ⋂ Y = Y ⋂ X时，才称为交换的。

我们知道集合X = {l, m, n, o, p, q}，Y = {m, n, o, r, s, t}。

首先，我们将验证并集的交换律。之后，我们将验证交集的交换律。

1. X ⋃ Y = Y ⋃ X。

X ⋃ Y = {l, m, n, o, p, q} ⋃ {m, n, o, r, s, t} = {l, m, n, o, p, q, r, s, t}

Y ⋃ X = {m, n, o, r, s, t} ⋃ {l, m, n, o, p, q} = {l, m, n, o, p, q, r, s, t}

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋃ Y = Y ⋃ X。

2. X ⋂ Y = Y ⋂ X

X ⋂ Y = {l, m, n, o, p, q} ⋂ {m, n, o, r, s, t} = {m, n, o}

Y ⋂ X = {l, m, n, o, p, q} ⋂ {m, n, o, r, s, t} = {m, n, o}

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋂ Y = Y ⋂ X。

因此，集合X = {l, m, n, o, p, q}和Y = {m, n, o, r, s, t}都是交换的。

性质2：结合律

根据结合律，如果集合用括号分组，结果将不受影响。此声明说明，如果我们在给定集合表达式中改变括号的位置，并且这些集合涉及并集和交集操作，这些改变不会影响结果集。

因此，并集和交集都满足结合律。假设有三个有限集，即X、Y和Z。这些集合对于并集或交集将是结合的，如果它满足以下性质：

示例：在此示例中，我们有两个集合X和Y，以及Z，其中X = {1, 2, 3, 4}，Y = {3, 4, 5, 6}，Z = {6, 7, 8}。在这里，我们必须验证这些集合的并集和交集的结合律。

解决方案

给定集合X、Y和Z当且仅当(X ⋂ Y) ⋂ Z = X ⋂ (Y ⋂ Z)且(X ⋃ Y) ⋃ Z = X ⋃ (Y ⋃ Z)时，才称为结合的。

我们知道集合是X = {1, 2, 3, 4}，Y = {3, 4, 5, 6}，Z = {6, 7, 8}。

首先，我们将验证并集的结合律。之后，我们将验证交集的结合律。

1. (X ⋃ Y) ⋃ Z = X ⋃ (Y ⋃ Z)

在这里，我们将首先取方程的左侧并尝试这样解决：

(X ⋃ Y) = {1, 2, 3, 4} ⋃ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(X ⋃ Y) ⋃ Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⋃ {6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

现在我们将取方程的右侧并尝试这样解决：

(Y ⋃ Z) = {3, 4, 5, 6} ⋃ {6, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

X ⋃ (Y ⋃ Z) = {1, 2, 3, 4} ⋃ {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

因此，根据上述结果，我们可以说(X ⋃ Y) ⋃ Z = X ⋃ (Y ⋃ Z)。

2. (X ⋂ Y) ⋂ Z = X ⋂ (Y ⋂ Z)

在这里，我们将首先取方程的左侧并尝试这样解决：

(X ⋂ Y) = {1, 2, 3, 4} ⋂ {3, 4, 5, 6} = {3, 4}

(X ⋂ Y) ⋂ Z = {3, 4} ⋂ {6, 7, 8} = {ϕ}

现在我们将取方程的右侧并尝试这样解决：

(Y ⋂ Z) = {3, 4, 5, 6} ⋂ {6, 7, 8} = {6}

X ⋂ (Y ⋂ Z) = {1, 2, 3, 4} ⋂ {6} = {ϕ}

因此，根据上述结果，我们可以说(X ⋂ Y) ⋂ Z = X ⋂ (Y ⋂ Z)。

因此，集合X = {1, 2, 3, 4}、Y = {3, 4, 5, 6}和Z = {6, 7, 8}是结合的。

性质3：分配律

根据分配律，如果我们将一个集合与另外两个集合的交集进行并集操作，它将产生与将原始集合与另外两个集合分别进行并集操作，然后再对这些单独并集的结果进行交集操作相同的结果。

同样的事情也会发生在交集上。这意味着如果我们将一个集合与另外两个集合的并集进行交集操作，它将产生与将原始集合与另外两个集合分别进行交集操作，然后再对这些单独交集的结果进行并集操作相同的结果。因此，并集和交集都满足分配律。假设我们有三个集合：X、Y和Z。这些集合对于并集或交集将是分配的，如果它满足以下性质：

示例：在此示例中，我们有三个集合X、Y和Z，其中X = {0, 1, 2, 3, 4}，Y = {1, -2, 3, 4, 5, 6}，Z = {2, 4, 6, 7}。在这里，我们必须验证这些集合的并集和交集的分配律。

解决方案

给定集合X、Y和Z当且仅当X ⋃ (Y ⋂ Z) = (X ⋃ Y) ⋂ (X ⋃ Z)且X ⋂ (Y ⋃ Z) = (X ⋂ Y) ⋃ (X ⋂ Z)时，才称为分配的。

我们知道集合是X = {0, 1, 2, 3, 4}，Y = {1, -2, 3, 4, 5, 6}，Z = {2, 4, 6, 7}。

首先，我们将验证并集的分配律。之后，我们将验证交集的分配律。

1. X ⋃ (Y ⋂ Z) = (X ⋃ Y) ⋂ (X ⋃ Z)

在这里，我们将首先取方程的左侧并尝试这样解决：

(Y ⋂ Z) = {1, -2, 3, 4, 5, 6} ⋂ {2, 4, 6, 7} = {4, 6}

X ⋃ (Y ⋂ Z) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋃ {4, 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 6}

现在我们将取方程的右侧并尝试这样解决：

(X ⋃ Y) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋃ {1, -2, 3, 4, 5, 6} = {-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(X ⋃ Z) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋃ {2, 4, 6, 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}

(X ⋃ Y) ⋂ (X ⋃ Z) = {-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⋂ {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 6}

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋃ (Y ⋂ Z) = (X ⋃ Y) ⋂ (X ⋃ Z)。

2. X ⋂ (Y ⋃ Z) = (X ⋂ Y) ⋃ (X ⋂ Z)

在这里，我们将首先取方程的左侧并尝试这样解决：

(Y ⋃ Z) = {1, -2, 3, 4, 5, 6} ⋃ {2, 4, 6, 7} = {-2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

X ⋂ (Y ⋃ Z) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋂ {-2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4}

现在我们将取方程的右侧并尝试这样解决：

(X ⋂ Y) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋂ {1, -2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4}

(X ⋂ Z) = {0, 1, 2, 3, 4} ⋂ {2, 4, 6, 7} = {2, 4}

(X ⋂ Y) ⋃ (X ⋂ Z) = {1, 2, 3, 4} ⋃ {2, 4} = {1, 2, 3, 4}

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋂ (Y ⋃ Z) = (X ⋂ Y) ⋃ (X ⋂ Z)。

因此，集合X = {0, 1, 2, 3, 4}、Y = {1, -2, 3, 4, 5, 6}和Z = {2, 4, 6, 7}是分配的。

性质4：恒等律

在恒等律中，0和1用于加法和乘法。同样，∅用于并集，U用于交集。如果任何集合与空集进行并集操作，那么结果将是集合本身。空集或空集合不包含任何元素。

同样，如果任何集合与全集进行交集操作，那么结果将是集合本身。因此，并集和交集都满足恒等律。假设有一个集合X。如果该集合满足以下性质，它将是并集或交集的恒等集：

示例：在此示例中，我们有一个集合X，其中X = {1, 2, 3, 4}。在这里，我们必须验证该集合的并集和交集的恒等律。

解决方案

给定集合X当且仅当X ⋃ ∅ = X且X ⋂ U = X时，才称为恒等集。

我们知道集合X = {1, 2, 3, 4}。所以，U = {1, 2, 3, 4}，∅ = {}。

首先，我们将验证并集的恒等律。之后，我们将验证交集的恒等律。

1. X ⋃ ∅ = X

X ⋃ ∅ = {1, 2, 3, 4} ⋃ {}

= {1, 2, 3, 4} = X

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋃ ∅ = X。

2. X ⋂ U = X

X ⋂ U = {1, 2, 3, 4} ⋂ {1, 2, 3, 4}

= {1, 2, 3, 4}

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋂ U = X。

因此，集合X = {1, 2, 3, 4}具有恒等性。

性质5：补集律

根据补集律，如果一个集合与它自身的补集进行并集操作，那么结果将是全集。全集是一种包含所有相关集合元素的集合。在全集中，元素不会重复。

在交集的情况下，结果将不同。如果一个集合与它自身的补集进行交集操作，那么结果将是空集。因此，并集和交集都满足补集律。假设有一个集合X及其补集XC。如果该集合满足以下性质，它将是并集或交集的补集：

示例：在此示例中，我们有一个集合X，其中X = {1, 2, 3}。在这里，我们必须验证该集合的并集和交集的补集律。

解决方案

给定集合X当且仅当X ⋃ X^C = U且X ⋂ X^C = ∅时，才称为补集。

我们知道集合X = {1, 2, 3}。所以，U = {1, 2, 3, 4, 5}，X^C = {4, 5}。

首先，我们将验证并集的补集律。之后，我们将验证交集的补集律。

1. X ⋃ X^C = U

X ⋃ X^C = {1, 2, 3} ⋃ {4, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5} = U

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋃ X = U。

2. X ⋂ X^C = ∅

X ⋂ XC = {1, 2, 3} ⋂ {4, 5}

= ∅

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋂ X = ∅。

因此，集合X = {1, 2, 3}是补集。

性质6：幂等律

根据幂等律，如果任何集合与自身进行并集或交集操作，那么结果将是集合本身。因此，并集和交集都满足幂等律。假设有一个集合X。如果该集合满足以下性质，它将是并集或交集的幂等集：

所以我们可以说，如果两个相同的集合包含相同的元素，那么结果将是集合的原始元素。

示例：在此示例中，我们有一个集合X，其中X = {1, 2, 3, 4}。在这里，我们必须验证该集合的并集和交集的幂等律。

解决方案

给定集合X当且仅当X ⋂ X = X且X ⋃ X = X时，才称为幂等集。

我们知道集合X = {1, 2, 3, 4}。

首先，我们将验证并集的幂等律。之后，我们将验证交集的幂等律。

1. X ⋃ X = X

X ⋃ X = {1, 2, 3, 4} ⋃ {1, 2, 3, 4}

= {1, 2, 3, 4} = X

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋃ X = X。

2. X ⋂ X = X

X ⋂ X = {1, 2, 3, 4} ⋂ {1, 2, 3, 4}

= {1, 2, 3, 4} = X

因此，根据上述结果，我们可以说X ⋂ X = X。

因此，集合X = {1, 2, 3, 4}是幂等的。