离散数学中的逻辑连接词

如果我们想学习逻辑连接词，我们首先要学习命题。在此之后，我们才能理解逻辑连接词。

命题

命题可以描述为一个陈述句，这意味着它用于声明一些事实。命题逻辑可以表示为真或假，但不能同时表示为两者。在本节中，我们将学习命题逻辑中的连接性。

逻辑连接性

逻辑连接性可以描述为用于连接一个或多个命题或谓词逻辑的算子。基于输入逻辑和用于连接命题的连接性，我们将得到结果逻辑。命题逻辑包含 5 个基本连接词，描述如下：

1. 取反
2. 连词
3. 析取
4. 条件
5. 双条件

命题逻辑的连接词名称、连接词语和符号描述如下：

现在我们将逐一讨论这些连接词，如下所示：

取反

符号 ∼ 用于表示否定。如果有一个命题 p，那么 p 的否定也将是一个命题，它包含以下属性：

• 当 p 为真时，p 的否定为假。
• 当 p 为假时，p 的否定为真。

真值表

否定的真值表如下所示：

示例

示例如下：

连词

合取由符号 **∧** 表示。如果存在两个命题 p 和 q，那么 p 和 q 的合取也将是一个命题，它包含以下属性：

• 当 p 和 q 都为真时，它们的合取为真。
• 当 p 和 q 都为假时，它们的合取为假。

真值表

合取的真值表如下所示：

示例

示例如下：

析取

析取由符号 ∨ 表示。如果存在两个命题 p 和 q，那么 p 和 q 的析取也将是一个命题，它包含以下属性：

• 当 p 和 q 都为假时，它们的析取为假。
• 当 p 或 q 或两者都为真时，它们的析取为真。

真值表

析取的真值表如下所示：

示例

示例如下：

条件

条件命题也称为蕴涵命题。它由符号 → 表示。如果存在两个命题 p 和 q，那么 p 和 q 的条件也将是一个命题，它包含以下属性：

• 如果一个命题的形式为“如果 p 则 q”，那么这种命题被称为蕴涵或条件命题。
• 当 p 为假，或 p 和 q 都为真时，它们的蕴涵为真。
• 当 p 为真，q 为假时，它们的蕴涵为假。

真值表

蕴涵的真值表如下所示：

示例

示例如下：

双条件

双条件命题也称为双蕴涵命题。它由符号 ↔ 表示。如果存在两个命题 p 和 q，那么 p 和 q 的双条件也将是一个命题，它包含以下属性：

• 如果一个命题的形式为“p 当且仅当 q”，那么这种命题被称为双蕴涵或双条件命题。
• 当 p 和 q 都为真，或者 p 和 q 都为假时，它们的双蕴涵为真。
• 在所有其他情况下，它们的双条件命题为假。

真值表

双蕴涵的真值表如下所示：

示例

示例如下：

重要说明

关于逻辑连接词有一些重要说明，描述如下：

说明 1

• 否定： 它等于数字电子学中的非门（NOT gate）。
• 合取： 它等于数字电子学中的与门（AND gate）。
• 析取： 它等于数字电子学中的或门（OR gate）。
• 双条件： 它等于数字电子学中的异或非门（EX-NOR gate）。

说明 2

• 每个逻辑连接词都必须具有一定的优先级。
• 在解决问题时，这个优先级的顺序很重要。
• 优先级的递减顺序如下图所示：

注意 3

• 否定、析取、合取和双条件或双蕴涵具有交换律和结合律。
• 蕴涵或条件命题不具有交换律或结合律。