离散数学中的线性函数

线性函数可以描述为在坐标平面上显示一条直线的函数。假设有一个函数 y = 3x - 2，它在坐标平面上显示一条直线。因此，这个函数也是一个线性函数。我们可以用 f(x) 替换 y。所以我们可以用另一种方式编写这个函数，即 f(x) = 3x+2。在本节中，我们将了解线性函数的定义、图、定义域和值域。之后，我们将学习如何识别线性函数并找到其逆函数。

线性函数的定义

线性函数可以描述为必须采用 f(x) = mx+b 形式的函数。在这个方程中，m 和 b 用于表示实数。这个方程看起来与直线的斜截式方程 y = mx+b 相同。它们看起来相似是因为线性函数用于表示一条直线。这意味着这个函数的图是一条直线。这里

'm' 用于表示直线的斜率

'b' 用于表示直线的 y 截距

'x' 用于表示自变量。

f(x) 或 'y' 用于表示因变量。

线性函数可以描述为代数函数。

线性函数的示例和方程

父线性函数由 f(x) = x 表示，它实际上是经过原点的一条直线。通常，线性函数的方程表示为 f(x) = mx + b。线性函数的一些示例如下所述：

f(x) = 6x-5。

f(x) = -7x - 0.7

f(x) = 4

线性函数的实际示例

我们还可以借助一些实际应用来解释线性函数，这些应用如下所述：

• 假设有一家电影流媒体公司每月收取大约 500 卢比的费用，每下载一部电影，他们还会收取 30 卢比的额外费用。在这种情况下，线性函数将用于表示每月总费用为 f(x) = 30x + 500。这里的 x 用于显示我们一个月内下载的电影数量。
• 假设有一家 T 恤公司在 T 恤上印制设计和徽标，该公司收取 3800 的一次性费用和每件 T 恤 500 的费用。现在我们可以使用线性函数来显示总费用为 f(x) = 500x + 3800。这里的 x 用于表示 T 恤的数量。
• 在线性规划问题中，我们可以使用线性函数，因为它表示一个目标函数。这个函数将有助于最大化利润并最小化损失。

寻找线性函数

我们可以借助点斜式或斜截式来找到线性函数。确定线性函数和确定直线方程的过程是相似的，我们将通过以下示例进行解释。

示例：在此示例中，我们必须确定包含两个函数 (-1, 15) 和 (2, 27) 的线性函数。

解决方案：从问题中，我们有两个点，即 (x₁, y₁) = (-1, 15) 和 (x₂, y₂) = (2, 27)。

步骤 1：在此步骤中，我们将使用斜率公式来确定函数的斜率，如下所示：

M = (y₂-y₁) / (x₂-x₁) = (27-15) / (2-(-1)) = 12 /3 = 4。

步骤 2：在此步骤中，我们将使用点斜式来找出线性函数的方程，如下所示：

y - y₁= m(x - x1)

y-15 = 4(x-(-1))

y-15 = 4(x+1)

y-15 = 4x+4

y = 4x+19

因此，线性函数方程为 f(x) = 4x + 19。

识别线性函数

如果我们以图的形式获得有关函数的信息，并且该图是一条直线，那么该函数将是线性函数。如果我们以代数形式获得有关函数的信息，其形式为 f(x) = mx+b，那么该函数也将是线性函数。如果我们想检查表中表示的给定数据是否表示线性函数，那么我们可以借助以下步骤进行：

• 我们将计算 x 值的差值
• 然后，我们将计算 y 值的差值
• 最后，我们将查看 y 值差值与 x 值差值的比率是否始终为常数。

示例：在此示例中，我们有一个表中的数据，我们必须显示此数据是否表示线性函数。

解决方案：为此，我们将每次计算 x 值、y 值和比率（y 差值）/（x 差值）的差值，并从这些计算中，我们将查看比率是否为常数。

绘制线性函数图

我们知道我们可以借助直线上的任意两点绘制直线。当我们能够找到这两个点时，我们只需将它们连接成一条直线，然后将其向两边延伸。线性函数 f(x) = mx+b 的图包含以下内容：

当 m>0 时，在这种情况下，图将是一条递增的直线。

当 m<0 时，在这种情况下，图将是一条递减的直线。

当 m=0 时，在这种情况下，图将是一条水平线。

• 我们可以在它上面确定两个点。
• 我们可以使用 y 截距及其斜率。

通过寻找两点绘制线性函数图

我们将使用函数 f(x) = mx+b 来确定它上面的两点。为此，我们将取 x 的一些随机值，并通过将这些值代入函数 f(x) 来找到 y 的对应值。现在我们将通过一个示例来解释绘制函数图的过程，在该示例中我们将绘制函数 f(x) = 3x + 5 的图，如下所示：

步骤 1：在此步骤中，我们将使用一些随机值来确定直线上的两点。因此，我们将取 x = -1 和 x = 0 作为两点。

步骤 2：现在，我们将通过将 x 的上述值代入函数来找到对应的 y 值。

在下表中，我们可以看到线性函数 y = 3x+5 如下：

因此，(-1, 2) 和 (0, 5) 是直线上的两点。

步骤 3：现在，我们将这些点绘制在图上，并用一条直线连接它们。我们还将直线向左侧和右侧延伸，如下所示：

使用 y 截距和斜率绘制线性函数图

借助线性函数 f(x) = mx+b 的 y 截距 'b' 和斜率 'm'，我们可以绘制任何函数。现在我们将再次使用相同的线性函数 f(x) = 3x+5 来解释这个过程。(0, b) = (0, 5) 用于显示此函数的 y 截距，m = 3 用于显示其斜率。完成此操作的步骤/过程如下所述：

步骤 1：在此步骤中，我们将绘制 y 截距 (0, b)，它等于 (0, 5)。因此，我们将绘制点 (0, 5)。

步骤 2：现在，我们必须以分数 rise/run 的形式编写斜率，然后找出“rise”和“run”。

这里斜率 = 3 = 3/1 = rise/run

所以 rise = 3，run = 1。

步骤 3：在此步骤中，我们将通过借助“rise”垂直上升 y 截距，然后借助“run”水平运行来获得新点。

注意：如果“rise”为正，则图将上升，如果“rise”为负，则图将下降。同样，如果“run”为正，我们将向右移动，如果“run”为负，我们将向左移动。

在此图中，我们将从 y 截距向上移动 3 个单位，然后向右移动 1 个单位。

步骤 4：现在，我们将使用一条直线连接步骤 1 到步骤 2 的点，并将这些直线向两边延伸。

线性函数的定义域和值域

线性函数的定义域和值域包含一组所有实数。在下图中，我们可以看到 f(x) = 2x+3 和 g(x) = 4-x 两个函数都绘制在相同的坐标轴上，如下所示：

这里 R 用于表示线性函数的定义域，R 也用于表示线性函数的值域。

注意

1. 如果问题不包含任何特定的值域或定义域，则只有在这种情况下，线性函数的定义域和值域才会是 R。
2. 如果斜率 m = 0，线性函数 f(x) = b 将显示水平线。在这种情况下，此函数的值域 = {b}，此函数的定义域 = R。

线性函数的逆

函数 f^-1(x) 用于表示线性函数 f(x) = ax+b 的逆，使得 f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x。现在我们将使用一个示例来展示识别线性函数逆的过程。在此示例中，我们有一个线性函数 f(x) = 3x+5，我们将找到此函数的逆。

步骤 1：在第一步中，我们将 f(x) 替换为 y。替换后，我们将得到以下方程：

y = 3x+5

步骤 2：现在，我们将交换变量 x 和 y，得到以下方程：

x = 3y+5

步骤 3：现在我们将求解上述方程中的 y，如下所示：

x-5 = 3y

y = (x-5) /3

步骤 4：现在我们将用逆函数 f^-1(x) 替换 y，得到以下结果：

f^-1(x) = (x-5) /3

请注意，函数 f(x) 和逆函数 f^-1(x) 始终关于直线 y = x 对称。现在我们将绘制线性函数 f(x) 及其逆函数 f^-1(x)。这里 f(x) = 3x+5 和 f^-1(x) = (x-5)/3。在这里，我们将检查这些函数是否关于 y = x 对称，我们还将看到当 (x, y) 位于 f(x) 上时，(y, x) 位于 f^-1(x) 上。为了证明这一点，我们将举一个例子，其中 (-1, 2) 位于 f(x) 上，(-2, 1) 位于 f^-1(x) 上。所有这些内容的图形表示如下所述：

分段线性函数

在某些情况下，线性函数在其整个定义域内以统一的方式定义。这是因为其定义域可以分成两部分或更多部分，因此线性函数在某些情况下可以以两种或更多种方式定义。这种线性函数被称为分段线性函数。分段线性函数的示例如下所述：

示例：在此示例中，我们有一个线性函数，我们必须绘制此函数的图。函数 f(x) 描述如下：

解决方案：上述分段函数在其定义域的两个部分中都是线性的。现在我们将通过考虑两种情况来确定线的端点。

当情况为 x ∈ [-2, 1) 时

当 x ∈ [1, 2) 时

相应的图如下所述：

重要注意事项

• 如果线性函数必须采用 f(x) = mx+b 的形式，那么此函数的图将是一条直线。
• 当线性函数 f(x) = mx+b 的斜率为 0 时，线性函数将是一条水平线，此函数将被称为常数函数。
• 在线性函数 f(x) = ax+b 中，定义域和值域将为 R。而对于常数函数 f(x) = b，值域将为 {b}。
• 我们可以在线性规划中使用这些线性函数来表示目标函数。
• 常数函数没有逆函数，因为此函数不是一对一的。
• 如果两个线性函数的斜率相等，则两个函数将平行。
• 如果两个线性函数的斜率乘积为 -1，则两个函数将垂直。
  线性函数未通过垂直线测试。这就是垂直线不是线性函数的原因。