离散数学中的函数绘图

函数绘图可以描述为绘制函数图表的过程。在基本函数绘图中，有一些简单的函数和一些复杂的函数。简单的函数有三次函数、线性函数、二次函数等，而复杂的函数有对数函数、有理函数等。在本节中，我们将理解函数绘图的定义、基本函数和示例。

函数绘图的应用

借助图形函数，我们可以绘制一条曲线，用于在坐标平面上表示函数。如果这条曲线（图）表示一个函数，那么曲线上的每一个点都将同样满足该函数。例如：在此图中，我们将显示线性函数 f(x) = -x+2。

现在我们可以从上面的图表中取线上任意一点。这里我们取 (-1, 3)。现在我们将 (-1, 3) = (x, y) 代入函数 f(x) = -x+2。这意味着对于这个函数，x = -1，y = 3。我们也可以将函数 f(x) = -x+2 写成 y = -x+2 的形式。

现在我们将 x 和 y 的值代入函数 y = -x+2，得到如下结果

3 = -(-1)+2

3 = 1+2

3 = 3

因此，我们可以说点 (-1, 3) 满足该函数。

同样，我们可以从上面的线中取不同的点，并检查这些点是否满足该函数。在这种情况下，函数将由线上/曲线上的每个点满足。绘制这些表示函数的曲线的过程称为函数绘图。

基本函数绘图

有很多非常简单的基本图形函数，例如二次函数和线性函数。图形函数的一些基本思想描述如下：

• 如果可以识别其形状，我们首先会这样做。例如：如果给定图是形式为 f(x) = ax+b 的线性函数，则它将是一条直线。如果给定图是形式为 f(x) = ax² + bx + c 的二次函数，则它将是一个抛物线。
• 我们可以通过代入一些随机的 x 值，然后将每个值代入函数来确定相应的 y 值，从而确定其上的一些点。

现在我们将通过图形线性函数、图形二次函数和图形复杂函数来理解函数绘图的一些示例。

图形线性函数

我们已经绘制了形式为 f(x) = ax+b 的线性函数的图。这里我们也将采用相同的线性形式。我们将创建一个包含一些随机 x 值的表格。因此，我们将取一些值，例如 x = 0 和 x = 1，然后通过将每个 x 值代入 y = -x+2 来找到 y 值。代入值后，我们将得到以下结果：

因此，从上面我们得到线上两点，即 (0, 2) 和 (1, 1)。如果我们在图表上绘制其中任意一点，并借助直线（将线向两边延伸）连接这些点，那么图表将与上面所示的相同。

图形二次函数

在此函数中，我们也可以确定其上的一些随机点。借助这些随机值，我们可能无法获得完美的 U 形曲线，因为如果我们要获得完美的 U 形曲线，那么我们必须知道曲线的转折点。这意味着对于完美的 U 形曲线，我们必须找到其顶点。当我们成功找到顶点时，我们会在顶点的每一侧识别两到三个随机点。这些随机点将帮助我们绘制函数图。

示例：在此示例中，我们必须绘制二次函数的图，其方程为 f(x) = x² - 2x + 5。

解：首先，我们将 f(x) = x²-2x+5 与 f(x) = ax²+bx+c 进行比较，然后我们将得到 a = 1，b = -2，c = 5。

现在我们将借助这些值获取 x 轴和 y 轴的坐标。

顶点的 x 坐标为

h = -b /2a = -(-2) /2(1) = 1。

顶点的 y 坐标为

f(1) = 1² - 2(1) + 5 = 4。

因此，顶点的 x 和 y 坐标为 (1, 4)。

现在我们将通过在 1 的每一侧取两个随机 x 值来创建一个表格。然后我们将使用上述函数 y = x²-2x+5，并找到 y 坐标。

借助上表，绘制的点将是 (-1, 8)、(0, 5)、(1, 4)、(2, 5) 和 (3, 8)。现在我们将图表上所有点连接起来，并向两侧延伸曲线，如下所示：

图形复杂函数

如果函数的定义域和值域都是实数集，则该函数将被称为最简单的函数。这种情况并非适用于所有类型的函数。可能存在复杂的函数，在绘制它们时我们必须注意其值域、定义域、孔和渐近线。最流行的此类函数描述如下：

• 有理函数：有理函数的父函数必须采用 f(x) = 1/x 的形式。有理函数也可以称为倒数函数。
• 指数函数：指数函数的父函数必须采用 f(x) = a^x 的形式。
• 对数函数：对数函数的父函数必须采用 f(x) = log x 的形式。

现在我们将分别显示每个函数父函数的图表，如下所示：

在绘制函数时，我们必须遵循以下每个步骤：

• 首先，我们将找出函数的定义域和值域，并借助它们绘制曲线。
• 之后，我们将确定 x 截距和 y 截距，然后绘制它们。
• 确定是否存在任何孔。
• 之后，我们将确定渐近线（水平、垂直和斜渐近线），并借助虚线绘制它们，以便图可以在这些线处断开。在这样做时，我们必须注意图表不要触及它们。
• 现在，我们将通过取一些随机的 x 值（在 x 截距两侧和/或垂直渐近线两侧）来制作一个表格。然后通过这些值，我们将找出相应的 y 值。
• 我们将绘制表格中的点。为此，我们将根据它们的范围、域和渐近线来连接它们。

我们将使用图形有理函数、图形指数函数和图形对数函数，借助上述步骤在不同情况下理解函数图。

绘制有理函数

这里我们将按照上述步骤绘制有理函数 f(x) = (x+1) /(x-2) 的图，如下所示：

• 从上述有理函数可知，定义域 = {x ∈ R | x ≠ 2} 且值域 = {y ∈ R | y ≠ 1}。现在我们将确定有理函数的定义域和值域。
• 此有理函数的 x 截距是 (-1, 0)，此函数的 y 截距是 (0, -0.5)。
• 它不包含任何孔。
• 此函数的垂直渐近线 (VA) 是 x = 2，此函数的水平渐近线 (HA) 是 y = 1。
• 现在，在垂直渐近线 x = 2 的两侧，我们将取一些随机值，然后我们将找出 y 的相应值，如下所示：

现在我们将以下列方式绘制所有上述点以及水平渐近线 (HA) 和垂直渐近线 (VA)

绘制指数函数

这里我们将假设一个指数函数 f(x) = 2^-x + 2。借助图形复杂函数中描述的步骤，我们将绘制此函数的图，如下所示：

• 此函数的定义域是所有实数 (R) 的集合，此函数的值域是 y > 2。
• 此函数在 y = 2 处有一个水平渐近线，但它没有任何垂直渐近线。
• 它有一个 y 截距 (0, 3)，但它没有任何 x 截距。
• 它也没有任何孔。
• 所以最后，我们没有任何关于 x 截距和 VA（垂直渐近线）的数据。我们只有关于 y 截距 (0, 3) 的数据。在 x = 0 的两侧，我们将取一些随机值，然后借助这些值构建一个表格，如下所示：

现在我们将以下列方式在图表上绘制所有上述信息

图形对数函数

这里我们将假设一个对数函数 f(x) = 2 log₂ x-2。借助图形复杂函数中描述的步骤，我们将绘制此函数的图，如下所示：

• 此函数的定义域是 x>0，此函数的值域是所有实数 (R) 的集合。
• 此函数的 x 截距是 (2, 0)，但此函数没有任何 y 截距。
• 此函数的垂直渐近线是 y = 0（x 轴），它不包含任何水平渐近线。
• 它也没有任何孔。
• 所以最后，我们只有一个参考点，即 (2, 0)。在 0 的两侧，我们将取一些随机值，然后借助这些值构建一个表格。我们不能取小于 0 的 x 值，因为定义域是 x>0。

这里我们选择的 x 值类型能够轻松简化 y 值。

现在我们将以下列方式在图表上绘制所有上述信息

通过变换绘制函数图

我们可以通过对父函数图进行变换来绘制函数图。这里我们将展示一些重要函数的父函数，如下所示：

线性函数：其父函数为：f(x) = x

二次函数：其父函数为：f(x) = x²

三次函数：其父函数为：f(x) = x³

绝对值函数：其父函数为：f(x) = |x|

倒数函数：其父函数为：f(x) = 1/x

对数函数：其父函数为：f(x) = log x

平方根函数：其父函数为：√x

立方根函数：其父函数为：∛x

指数函数：f(x) = a^x, 0

我们应该记住所有上述父函数图的外观。之后，我们将能够对给定函数的图应用变换。

函数绘图的重要注意事项

• 在函数绘图中，f(ax) ≠ a f(x)。两者可能有不同的值。
• 函数的图永远不会触及渐近线。
• x 的值可以是小数、实数或整数，我们用它来绘制任何函数 f(x)。
• 我们不应在表格中选择不属于函数定义域的 x 值。