关系类型

1. 自反关系：集合 A 上的关系 R 如果对于每个 a ∈ A，都有 (a, a) ∈ R，则称为自反关系。

示例：如果 A = {1, 2, 3, 4}，则 R = {(1, 1) (2, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}。 这个关系是自反的吗？

解：这个关系是自反的，因为对于每个 a ∈ A，都有 (a, a) ∈ R，即 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R。

2. 非自反关系：集合 A 上的关系 R 如果对于每个 a ∈ A，都有 (a, a) ∉ R，则称为非自反关系。

示例：设 A = {1, 2, 3}，R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (1, 3)}。关系 R 是自反的还是非自反的？

解：关系 R 不是自反的，因为对于每个 a ∈ A，都有 (a, a) ∉ R，即 (1, 1) 和 (3, 3) ∉ R。 关系 R 也不是非自反的，因为存在一些 a ∈ A，使得 (a, a) ∉ R，即 (2, 2) ∈ R。

3. 对称关系：集合 A 上的关系 R 如果 (a, b) ∈ R ⟺ (b, a) ∈ R，则称为对称关系。

示例：设 A = {1, 2, 3}，R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}。关系 R 是对称的吗？

解：关系是对称的，因为对于每个 (a, b) ∈ R，都有 (b, a) ∈ R，即 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) ∈ R，但不是自反的，因为 (3, 3) ∉ R。

对称关系的例子

1. 关系 ⊥r 是对称的，因为如果直线 a 垂直于 b，则 b 也垂直于 a。
2. 同样，平行也是对称的，因为如果直线 a ∥ b，则 b 也 ∥ a。

反对称关系：集合 A 上的关系 R 是反对称的，如果 (a, b) ∈ R 且 (b, a) ∈ R，则 a = b。

示例 1：设 A = {1, 2, 3}，R = {(1, 1), (2, 2)}。关系 R 是反对称的吗？

解：当 (a, b) 和 (b, a) 都属于 R 时，关系 R 是反对称的，因为 a = b。

示例 2：设 A = {4, 5, 6}，R = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (4, 6)}。关系 R 是反对称的吗？

解：关系 R 不是反对称的，因为 4 ≠ 5，但 (4, 5) 和 (5, 4) 都属于 R。

5. 非对称关系：集合 A 上的关系 R 如果对于每个 (a, b) ∈ R，都有 (b, a) 不属于 R，则称为非对称关系。

6. 传递关系：集合 A 上的关系 R 如果 (a, b) ∈ R 且 (b, c) ∈ R ⟺ (a, c) ∈ R，则称为传递关系。

示例 1：设 A = {1, 2, 3}，R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}。关系是传递的吗？

解：关系 R 是传递的，因为对于每个 (a, b) (b, c) 属于 R，都有 (a, c) ∈ R，即 (1, 2) (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R。

注 1：关系 ≤、⊆ 和 / 是传递的，即 a ≤ b，b ≤ c 则 a ≤ c
(ii) 设 a ⊆ b，b ⊆ c 则 a ⊆ c
(iii) 设 a/b，b/c 则 a/c。

注 2：⊥r 不是传递的，因为 a ⊥r b，b ⊥r c 则不成立 a ⊥r c。由于没有直线与其自身平行，我们可以有 a ∥ b，b ∥ a，但 a ∦ a。
因此 ∥ 不是传递的，但在平面上将是传递的。

7. 恒等关系：集合 A 上的恒等关系 I 是自反的、传递的和对称的。因此，恒等关系 I 是一个等价关系。

示例：A= {1, 2, 3} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

8. 空关系：它由 R: A →B 定义，使得 R = ∅ (⊆ A x B) 是一个空关系。空关系 R = ∅ 是对称的和传递的，但不是自反的。

9. 全关系：一个关系 R: A →B 使得 R = A x B (⊆ A x B) 是一个全关系。从 A →B 到全关系是自反的、对称的和传递的。所以这是一个等价关系。