离散数学中的矩阵类型

我们将稍微讨论一下矩阵，因为在本节中我们将讨论矩阵的类型。矩阵用于包含数字的矩形数组，所有这些数字、表达式或符号都将以行和列的形式排列。通过行数和列数，我们可以确定矩阵的阶数。如果有多个矩阵，则称为矩阵（matrices）。在任何矩阵中，条目都称为数字，每个数字都是一个元素。我们可以将矩阵的大小表示为 m × n，写成 m*n。这里 n 用于表示行数，m 用于表示列数。

离散数学包含许多类型的矩阵。基于矩阵的阶数、元素和特定条件集，我们可以区分所有这些类型的矩阵。“matrices”一词用于表示矩阵的复数形式。在本节中，我们将使用此术语来表示多个矩阵。在本节中，我们将学习不同类型的矩阵、它们的定义以及许多示例。

矩阵的类型有哪些？

在此，我们将展示一些在离散数学、科学和工程领域使用的重要矩阵类型。离散数学中的各种矩阵类型描述如下：

• 行矩阵和列矩阵
• 长方形矩阵和方阵
• 水平矩阵和垂直矩阵
• 单例矩阵
• 单位矩阵
• 零矩阵
• 对角矩阵
• 奇异矩阵和非奇异矩阵
• 厄米特矩阵和斜厄米特矩阵
• 上三角矩阵和下三角矩阵
• 对称矩阵和斜对称矩阵
• 正交矩阵

借助上述矩阵类型，我们可以根据年龄、月份、人物、群体、公司等组织数据。通过使用这些信息，我们可以做出决策并解决各种数学问题。

识别矩阵类型

矩阵可以以各种尺寸表示，但通常，矩阵的形状保持不变。矩阵的大小称为其阶数。我们可以通过计算矩阵中的总行数和列数来计算它。下图显示了找到给定矩阵维度的过程。

现在我们将学习最常用的矩阵以及如何根据它们的维度找到它们。

行矩阵和列矩阵

如果一个矩阵只有一行，而列数可以是任意数，则该矩阵称为**行矩阵**。假设有一个矩阵 A = [aij]m*n，那么当 m = 1 时，该矩阵就是行矩阵。因此，我们可以将行矩阵表示为 A = [aij]1*n。因此，行矩阵的阶数为 1*n。

类似地，如果一个矩阵只有一列，而行数可以是任意数，则该矩阵称为**列矩阵**。假设有一个矩阵 A = [aij]m*n，那么当 n = 1 时，该矩阵就是列矩阵。因此，我们可以将列矩阵表示为 A = [aij]m*1。因此，列矩阵的阶数为 m*1。计算行矩阵和列矩阵的示例如下：

行矩阵	列矩阵
A = [1 0 2 4]
矩阵 A 称为行矩阵，因为它只有一行。	矩阵 B 称为列矩阵，因为它只有一列。

长方形矩阵和方阵

如果一个矩阵的行数和列数不相等，则称为**长方形矩阵**。可以用符号 Bm*n 来表示。

类似地，如果一个矩阵的行数和列数相等，则称为**方阵**。可以用符号 Bn*n 来表示。计算长方形矩阵和方阵的示例如下：

长方形矩阵	方阵
矩阵 B 称为长方形矩阵，因为它包含 3 行 4 列。	矩阵 C 称为方阵，因为它包含 3 行 3 列。

单位矩阵和零矩阵

如果方阵的主对角线元素等于 1，而该矩阵的所有其他条目或元素都等于 0，则该矩阵称为**单位矩阵**。单位矩阵可以用符号 I 来表示。

注意

• 如果存在单位矩阵，则它们必须是标量矩阵。
• 如果存在标量矩阵，则它们必须是对角矩阵。
• 如果存在对角矩阵，则它们必须是方阵。
• 所有这些陈述的逆命题都不成立。

如果矩阵的所有元素都等于零，则该矩阵称为**零矩阵**。零矩阵用符号 0 表示。计算单位矩阵和零矩阵的示例如下：

单位矩阵	零矩阵
矩阵 I 称为单位矩阵，因为该矩阵的对角线元素是 1，而所有其他元素都是 0。	矩阵 D 称为零矩阵，因为该矩阵的所有元素都是 0。

相等矩阵

如果矩阵的元素相等，则称为**相等矩阵**。矩阵相等有一些条件，如下所述：

假设有两个矩阵 A 和 B。如果它们的阶数和对应元素都相同，则这两个矩阵相等。假设 A = [aij]m*n 和 B = [bij]m*n。当且仅当满足以下条件时，这两个矩阵才相等：

• 如果 m = r。这表明矩阵 A 的行数等于矩阵 B 的行数。
• 如果 n = s。这表明矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的列数。
• 如果存在 aij = bij 的情况，其中 i = 1, 2, 3, ...., m 且 j = 1, 2, 3, ...., n。这表明它们各自的元素是相等的。

例如：假设有两个矩阵，描述如下：

在上图中，第一个矩阵的阶数为 2*2，第二个矩阵的阶数为 2*3。因此，这两个矩阵不包含相同的阶数。所以这些矩阵不相等。

假设我们有两个更多矩阵，描述如下：

在此图像中，两个矩阵的阶数均为 2*3。因此，这两个矩阵将相等。因此，我们可以为矩阵分配以下值：

a1 = 1, a2 = 6, a3 = 3, b1 = 5, b2 = 2, b3 = 1。

水平矩阵和垂直矩阵

如果一个矩阵的阶数为 m*n，其中 n > m，则该矩阵称为**水平矩阵**。这里 m 用于表示行数，n 用于表示列数。因此，对于水平矩阵，列数必须大于行数。

类似地，如果一个矩阵的阶数为 m*n，其中 m > n，则该矩阵称为**垂直矩阵**。因此，对于垂直矩阵，行数必须大于列数。

计算水平矩阵的示例如下：

水平矩阵	垂直矩阵
此矩阵称为水平矩阵，因为它包含 2 行 4 列。这意味着列数大于行数。	矩阵 C 称为垂直矩阵，因为它包含 4 行 2 列。这意味着行数大于列数。

其他类型的矩阵

除了我们已经解释过的最常用的矩阵之外，离散数学中还有许多其他矩阵可以使用。所有这些矩阵描述如下：

奇异矩阵和非奇异矩阵

如果给定方阵的行列式等于 0，则该矩阵称为**奇异矩阵**。

如果给定方阵的行列式不等于 0，则该矩阵称为**非奇异矩阵**。借助行列式公式，我们可以确定矩阵的行列式。计算奇异矩阵和非奇异矩阵的示例如下：

奇异矩阵	非奇异矩阵
= 1*(1*1 - 1*1) -1*(1*1 - 1*1) +1*(1*1 - 1*1) = 1*(1-1) -1*(1-1) +1*(1-1) = 1*(0) -1*(0) +1*(0) = 0 + 0 + 0 = 0	= 2*(2*1 - 1*1) -1*(1*1 - 1*1) +1*(1*1 - 2*1) = 2*(2-1) -1*(1-1) +1*(1-2) = 2*(1) -1*(0) +1*(-1) = 2 - 0 - 1 = 1
矩阵 C 称为奇异矩阵，因为 |C| = 0。	矩阵 D 称为非奇异矩阵，因为 |D| ? 0。

对角矩阵和标量矩阵

如果方阵的所有元素都为 0，除了矩阵的对角线元素外，该矩阵称为**对角矩阵**。假设有一个方阵 A = [aij]。当 i ≠ j 时，如果 aij = 0，则该矩阵是对角矩阵。因此，在对角矩阵的情况下，对角线元素包含非零元素，所有非对角线元素都包含零。对角矩阵用于包含两个重要点，描述如下：

1. 对角矩阵必须是方阵。
2. 借助形式 aij，我们可以表征对角元素，其中 i = j。它用于表明一个矩阵只能有一个对角线。

一些对角矩阵的例子描述如下：

在此图像中，有三个对角矩阵 P、Q 和 R，它们的阶数分别为 1*1、2*2 和 3*3。

标量矩阵是另一种对角矩阵。如果给定方阵的所有对角线元素都相同，而对角线元素以外的所有其他元素都为 0，则该矩阵称为**标量矩阵**。存在一种特殊的方对角矩阵，称为标量矩阵。计算对角矩阵和标量矩阵的示例如下：

对角矩阵	标量矩阵
矩阵 B 称为对角矩阵，因为该矩阵的所有元素都为 0，除了对角矩阵。	矩阵 C 称为标量矩阵，因为上述方阵的对角线元素彼此相同，而所有其他元素都为 0。

上三角矩阵和下三角矩阵

如果一个方阵中对角线元素下方的所有元素都等于 0，则该矩阵称为**上三角矩阵**。

类似地，如果一个方阵中对角线元素上方的所有元素都等于 0，则该矩阵称为**下三角矩阵**。计算两种三角矩阵的示例如下：

上三角矩阵	下三角矩阵
矩阵 B 称为上三角矩阵，因为主对角线下方显示的所有元素都等于 0。	矩阵 B 称为下三角矩阵，因为主对角线上方显示的所有元素都等于 0。

对称矩阵和斜对称矩阵

如果有一个 n*n 大小的方阵 D，则这种矩阵称为**对称矩阵**，如果 D^T = D。这里 T 用于表示矩阵的转置。

如果有一个 n*n 大小的方阵 F，则这种矩阵称为**斜对称矩阵**，如果 F^T = -F。计算对称矩阵和斜对称矩阵的示例如下：

对称矩阵	斜对称矩阵
矩阵 D 称为对称矩阵，因为 DT 和 D 都等于彼此。	矩阵 F 称为斜对称矩阵，因为 FT 和 -F 都等于彼此。

注意

• 如果有一个方阵 A，在这种情况下，将存在对称矩阵 A + A^T 和斜对称矩阵 A - A^T。
• 我们可以将方阵唯一地表示为对称矩阵和斜对称矩阵的加法形式，如下所示：
  A = ½(A + A^T) + ½(A - A^T) = ½(B + C)
• 这里 B 用于表示对称矩阵，C 用于表示斜对称矩阵。
• 如果有两个对称矩阵 A 和 B，在这种情况下，AB 将是对称的，即 AB = BA。这意味着 A 和 B 是可交换的。
• 如果存在一个矩阵 A，它是对称矩阵或斜对称矩阵，在这种情况下，矩阵 B^TAB 将相应地是对称或非对称的。
• 在对称矩阵中，所有正整数幂都将始终是对称的。
• 如果存在一个具有正奇数整数幂的斜对称矩阵，则它将始终是斜对称的。如果存在一个具有正偶数整数幂的斜对称矩阵，则它将始终是对称的。

厄米特矩阵和斜厄米特矩阵

厄米特矩阵和斜厄米特矩阵之间的区别非常小，描述如下：

如果一个给定矩阵与其共轭转置矩阵相同，则该矩阵称为**厄米特矩阵**。计算厄米特矩阵的示例如下：

如果一个给定矩阵与其共轭转置矩阵的负数相同，则该矩阵称为**斜厄米特矩阵**。计算斜厄米特矩阵的示例如下：

布尔矩阵

如果给定矩阵的所有元素都是 0 或 1，则该给定矩阵称为**布尔矩阵**。借助矩阵 B 计算布尔矩阵的示例如下：

随机矩阵

如果给定矩阵的所有条目都表示概率，则该给定矩阵称为**随机矩阵**。随机矩阵可以有两种类型：**左随机矩阵**和**右随机矩阵**。如果给定方阵 C 的条目非负，并且每列的条目之和等于 1，则该给定方阵是**左随机矩阵**。类似地，如果给定方阵的条目非负，并且每行的条目之和等于 1，则该给定方阵是**右随机矩阵**。计算左随机矩阵 C 的示例如下：

正交矩阵

如果存在一个方阵 B，满足关系 B*B^T = I，则这种矩阵称为**正交矩阵**。这里 B^T 用于表示矩阵 B 的转置，I 用于表示单位矩阵。计算正交矩阵的示例如下：

此处矩阵 B 称为正交矩阵，因为 B*B^T = I。

单例矩阵

如果一个矩阵包含的元素只有一个，则该矩阵称为**单例矩阵**。假设有一个矩阵 A = [ai*j]m*n。因此，如果 m = n = 1，则该矩阵是单例矩阵。单例矩阵的示例如下：

[], [4], [6], [7], [a] 等

特殊矩阵

我们已经学习了各种类型的矩阵，但还有各种特殊类型的矩阵，描述如下：

幂等矩阵

如果存在一个方阵 A，满足 Aⁿ = A 对于所有 n ≤ 2，则这种矩阵称为**幂等矩阵**。例如：A² = A, A³ = A，等等。通过检查条件 A² = A，我们可以确定方阵是否是幂等的。

幂零矩阵

如果存在一个方阵 A，对于某个 k ≤ n，满足 A^k = 0，则这种矩阵称为**幂零矩阵**。例如：假设有一个矩阵 A，其中

该矩阵是幂零矩阵，因为 A² = 0。此处 0 用于表示 2 阶的零矩阵。

对合矩阵

如果存在一个方阵 A，满足 A^-1 = A，则这种矩阵称为**对合矩阵**。例如：如果存在一个单位矩阵，那么它将是偶数对合矩阵，因为它等于其逆。

要点

• 如果一个矩阵只有一行，但可以有任意数量的列，则该矩阵称为行矩阵。
• 如果一个矩阵只有一列，但可以有任意数量的行，则该矩阵称为列矩阵。
• 如果给定维度或阶数的矩阵的所有元素都是常数，则该矩阵称为**常数矩阵**。