常系数线性递推关系

如果其次数为一，则称递推关系为线性递推关系。

具有常数系数的线性递推关系的通用形式为

          C₀ y_n+r+C₁ y_n+r-1+C₂ y_n+r-2+⋯+C_r y_n=R (n)

其中 C₀,C₁,C₂......C_n 是常数，R (n) 是自变量 n 的同类函数。

递推关系的解是满足给定方程的任意函数。

具有常数系数的线性齐次递推关系

当且仅当 R (n) = 0 时，该方程才称为线性齐次差分方程，其阶数为 n。

当 R (n) ≠ 0 时，该方程称为线性非齐次差分方程。

示例1: 方程 a_r+3+6a_r+2+12a_r+1+8a_r=0 是一个三阶线性非齐次方程。

示例2: 方程 a_r+2-4a_r+1+4a_r= 3r + 2^r 是一个二阶线性非齐次方程。

具有常数系数的线性齐次差分方程由下式给出

          C₀ y_n+C₁ y_n-1+C₂ y_n-2+⋯......+C_r y_n-r=0 ....... 方程 (i)

其中 C₀,C₁,C₂.....C_n 是常数。

方程 (i) 的解形式为 ，其中 ∝₂ 是特征根，A 是常数。

将 A ∝^K 代入方程 (1) 中的 y_n，我们得到

          C₀ A∝^K+C₁ A∝^K-1+C₂ A∝^K-2+⋯....+C_r A∝^K-r=0.......方程 (ii)

简化方程 (ii) 后，我们得到

          C₀ ∝^r+C₁ ∝^r-1+C₂ ∝^r-2+⋯C_r=0..........方程 (iii)

方程 (iii) 称为差分方程的特征方程。

如果 ∝₂ 是特征方程的根之一，则 是差分方程的齐次解。

为了找到线性齐次差分方程的解，我们有以下四种情况，如下讨论：

情况 1: 如果特征方程有 n 个不同的实根 ∝₂, ∝₂, ∝₃,.......∝_n。

因此， 都是方程 (i) 的解。

此外，我们有 都是方程 (i) 的解。解的和也是解。

因此，差分方程的齐次解为

情况 2: 如果特征方程有重实的根。

如果 ∝₂=∝₂，则 (A₁+A₂ K) 也是一个解。

如果 ∝₂=∝₂=∝₃，则 (A₁+A₂ K+A₃ K²) 也是一个解。

类似地，如果根 ∝₂ 重复 n 次，则。

          (A₁+A₂ K+A₃ K²+......+A_n K_n-1)

齐次方程的解。

情况 3: 如果特征方程有一个复根。

如果 α+iβ 是特征方程的根，则 α-iβ 也是根，其中 α 和 β 为实数。

因此，(α+iβ)^K 和 (α-iβ)^K 是方程的解。这意味着

          (α+iβ)^K A₁+α-iβ)^K A₂

也是特征方程的解，其中 A₁ 和 A₂ 是待确定的常数。

情况 4: 如果特征方程有重复的复根。

当特征方程有重合的复根时，

          (C₁+C₂ k) (α+iβ)^K +(C₃+C₄ K)(α-iβ)^K

是齐次方程的解。

示例1: 求解差分方程 a_{r-3ar-1+2ar-2=0。}

解: 特征方程由下式给出

因此，方程的齐次解由下式给出

示例2: 求解差分方程 9y_K+2-6y_K+1+y_K=0。

解: 特征方程为

因此，方程的齐次解由下式给出
y_K=(C₁+C₂ k).

示例3: 求解差分方程 y_K-y_K-1-y_K-2=0。

解: 特征方程为 s²-s-1=0
s=

因此，方程的齐次解为

示例4: 求解差分方程 y_K+4+4y_K+3+8y_K+2+8y_K+1+4y_K=0。

解: 特征方程为 s⁴+4s³+8s²+8s+4=0
          (s²+2s+2) (s²+2s+2)=0
          s = -1±i,-1±i

因此，方程的齐次解由下式给出

          y_K=(C₁+C₂ K)(-1+i)^K+(C₃ +C₄ K)(-1-i)^K