离散数学中的无理数

无理数可以被描述为实数。我们无法将这些实数表示为整数的比例。换句话说，无理数也可以被描述为不是有理数的实数。例如：√5 是一个无理数。

无理数定义

无理数包含在实数集中，并且这类数永远不能表示为分数 p/q 的形式。这里的 p 代表分子，q 代表分母，p 和 q 都是整数，且 q 必须不等于 0，即 q ≠ 0。无理数的例子是 √7 和 √5 等。如果无理数有小数展开，那么它既不循环也不有限。而如果一个数可以表示为 x/y 的形式，其中 y ≠ 0 且 x 和 y 都是整数，那么这些数就被称为有理数。

无理数表示法

它可以被描述为不能表示为简单分数形式的实数。我们可以用符号“\”来表示无理数，即R\Q。这里的“\”被称为反斜杠符号，用于表示“集合减法”。我们也可以表示为R- Q，它基本上描述了实数集与有理数集之间的差集。

如果我们尝试基于无理数进行计算，那会有点复杂。例如：√11、√7、√13 等，都是无理数。如果一个算术运算中使用了这些数字，那么我们首先需要计算根号下的值。即使那样，无理数的值有时也可能是循环的。

无理数的含义

无理数的意思是没有比例。这意味着无理数不能有比例。我们只能使用根号来表示无理数，而不能以任何其他方式表示。我们也无法将这类数表示为两个整数的比例。

无理数符号

单词“P”被用来表示无理数的符号。无理数和有理数都包含在实数中。由于我们是用否定方式定义无理数，所以无理数可以定义为实数集 (R) 中不能成为有理数 (Q) 的一个集合。由于有理数和实数之间的关联，因为这种关联包含字母顺序 P、Q、R，所以我们使用符号 P 来表示无理数。但我们主要通过实数集 (R) 和有理数集 (Q) 的差集来表示无理数。所以我们可以用以下方式书写无理数：

R - Q 或 R \Q。

因此，符号 P 表示无理数。

无理数的常见例子

有一些特定类型的无理数，我们在寻找无理数时经常使用它们，它们描述如下：

Pi (π)：π 被称为无理数。π 的值是 3.14159265。其小数的值永远不会停止。由于 π 的值与分数 22/7 相似，所以我们也可以取 π 的值作为 3.14 或 22/7。

注意：数字 22/7 被称为有理数。

√2：2 的平方根或 √2 被称为无理数。假设有一个等腰直角三角形，其中两条边 AB 和 BC 相等，且这两条边的长度为 1 个单位。根据勾股定理，我们知道斜边 AC 将是 √2 = 1.414213……。

欧拉数：欧拉数用 e 表示，它等于数字 2.718281……。

黄金分割率：黄金分割率用 φ 表示，它等于数字 1.61803398874989……。

无理数的性质

无理数有很多性质，在从给定的实数集中找出无理数时会很有用。无理数的一些性质描述如下：

• 无理数将具有非递归和非循环的十进制表示。
• 无理数只能是实数。
• 如果我们尝试相加一个有理数和一个无理数，那么结果将是无理数。假设有一个有理数 y 和一个无理数 x，那么它们的和将是 x + y = 一个无理数。
• 如果我们尝试将无理数与任何非零有理数相乘，那么结果将是无理数。假设有一个有理数 y 和一个无理数 x，那么它们的乘积将是 x*y = 无理数。
• 任意两个给定的无理数可能存在也可能不存在最大公约数 (LCM)。这里的 LCM 可以指定为最小公倍数。
• 如果我们对两个无理数进行加法、除法、乘法或减法运算，那么生成的结果可能是有理数，也可能不是有理数。例如：√2 * √2 = 2。这里 √2 用于表示无理数。
• 在乘法过程中，无理数的集合可能不是封闭的。但在有理数的情况下，它是封闭的。

无理数集

我们可以通过将一些无理数写在括号内来获得无理数集。有一些性质可以帮助确定无理数集，它们描述如下：

• 如果实数的平方根不是完全平方数，那么该数将是无理数。例如：√2、√3、√5、√8。
• 有一些著名的无理数，即 Pi、黄金分割率和欧拉数 {e, ?, ?}。
• 如果我们对任何素数进行平方根运算，那么结果将是无理数。

无理数的列表在下表中描述：

有理数与无理数对比

有理数可以被定义为可以表示为分数 p/q 或比例的数字。有理数可以包含整数或整数。在有理数中，p 是分子，q 是分母，其中 p 必须不等于零。

• 2/3 = 0.6666 = 0.67。正如我们所见，十进制值是递归的（重复的）。这就是为什么我们将其近似为 0.67。
• √4 = 2 和 -2，其中 2 和 -2 用于表示整数。

无理数与有理数之间的区别描述如下：

关于无理数的趣闻

无理数包含许多很酷有趣的细节，描述如下：

1. √2 的意外发明

√2，或 2 的平方根，被称为无理数。

在计算等腰三角形长度的过程中首次发明的无理数是 2 的平方根或 √2。为了计算它，使用了著名的勾股定理，描述如下：

a² = b² + c²

AC² = AB² + BC² ? AC² = 1² + 1² ? AC = √2

我们知道 √2 的值是 1.41421…。这是因为 √2 介于 1 和 2 之间。所以他揭示了我们无法将 AC 的长度表示为整数或分数。

2. π 的值

当我们计算 **π** 的值时，我们发现大约有 **22 万亿位**，而且没有尽头。为了计算 **π** 的值，一台计算机通常需要大约 15 天，使用 24 块硬盘。

3. 欧拉数 e 的发明

瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于 1731 年引入了欧拉数 e 的概念。我们也可以称 'e' 为纳皮尔数。我们可以在对数和三角学领域使用数字 'e'。

两个无理数的加法和乘法

在这里我们将学习两个无理数的加法和乘法。首先我们将讨论两个无理数的乘法，然后我们将学习两个无理数的和。

两个无理数的乘积

陈述：如果我们对两个无理数执行乘法运算，那么结果将是有理数或无理数。

例如

假设有一个无理数 √2，如果我们把 √2 乘以 √2，那么结果将是 2。其中，2 是一个有理数。所以，

√2 * √2 = 2

假设有一个无理数 Π，如果我们把 Π 乘以 Π，那么结果将是 Π²，这是一个无理数。所以，

Π * Π = Π²

所以我们得出结论，当我们乘以两个无理数时，我们可能得到无理数或有理数作为结果。

两个无理数的加法

陈述：如果我们对两个无理数执行加法运算，那么结果将是有理数或无理数。

就像上面两个无理数的乘法一样，两个无理数的加法也产生相同的结果，即有理数或无理数。

例如：假设有两个无理数 3√2+ 4√3，如果我们将这些数相加，那么它们的和将是一个无理数。

但是，假设有两个无理数 +4√2 和 -4√2，如果我们相加，那么我们将得到 3 作为结果，这是一个有理数。

所以，如果我们乘以或加上两个无理数，那么我们需要小心，因为这些运算的结果可能是理数或无理数。

无理数定理和证明

我们可以用下面的定理来证明上述关于加法和乘法的陈述。

定理：假设有一个素数 p，如果 a² 被 p 整除，那么可以得出 p 也整除 a。

证明：根据算术基本定理，我们可以用其素数的乘积来表示正整数，它们描述如下：

a = p1 * p2 * p3 * p4 …. * pn ……(1)

这里的 p1, p2, p3, p4 …., pn 用于表示 a 的所有素数因子。

现在我们将对上述方程 (1) 的两边进行平方，如下所示：

a² = (p1 * p2 * p3 * p4 …. * pn) (p1 * p2 * p3 * p4 …. * pn)

? a² = (p1)² * (p2)² * (p3)² * (p4)² …. * (pn)²

根据算术基本定理，我们知道自然数有唯一的素数分解，除了其因子的顺序不同。

p1, p2, p3, p4 …., pn 用于包含 a² 的所有素数因子。如果存在一个素数 p 并且它是 a² 的一个因子，那么在这种情况下，p 将是 p1, p2, p3, p4 …., pn 中的一个。所以，p 也是 a 的因子。

因此，可以得出结论，如果 p 整除 a²，那么 p 也整除 a。

利用这个定理，我们也可以证明 √2 是无理数。

无理数的寻找

这里我们需要确定 2 和 3 之间的无理数。

我们知道，2 是 4 的平方根，即 √4 = 2，而 3 是 9 的平方根，即 √9 = 3。

因此，√5、√6、√7 和 √8 被称为无理数。这些数字是无理数，因为它们不能进一步简化，也不包含完全平方数。同样，如果我们想确定任意两个完全平方数之间的无理数，我们也可以做到。

另一种情况

假设有一个 √2 的例子。现在我们需要确定给定的数字 √2 是否是无理数。

现在我们考虑 √2 是一个有理数。那么我们可以根据有理数的定义将这个数字写成如下形式：

√2 = p/q ….. (1)

这里 p 和 q 用于表示互质整数，并且 q 必须不等于 0，即 q ≠ 0。（如果给定的数字的公因子是 1，那么这个数字就是互质数）。

现在我们对方程 (1) 的两边进行平方，如下所示：

2 = p² /q²

? p² = 2q² ….. (2)

根据上述定理，我们知道如果 2 是 p² 的素数因子，那么在这种情况下，2 也将是 p 的素数因子。

根据初始假设，我们知道 p 和 q 都是互质的，但我们从上面得到的结论与这个假设相矛盾，因为 p 和 q 的公因子不是 1，而是 2。正是由于 √2 是有理数的错误假设，才出现了公因子为 2 的矛盾。

所以，根号 2 (√2) 是无理数。

同样，我们也可以证明，我们在开头讨论的陈述，即如果有一个素数 p，那么 √p 也是一个无理数。类似地，我们也可以证明对于任何素数 p，√p 都是无理数。

无理数示例

示例 1：在此示例中，我们有 5 个数字，我们需要确定哪些是无理数，哪些是有理数。

1. 2
2. -.45678…
3. 6.5
4. √2
5. √3

解决方案

-2, 6.5，这两个数字都具有有限小数。因此，这些数字是有理数。

-.45678…, √2, √3 都具有非重复或非循环的小数展开。因此，这些数字是无理数。

示例 2：在此示例中，我们有 4 个数字，我们需要确定哪些是无理数，哪些是有理数。

1. 2
2. 5/11
3. -5.12
4. 0.31

解决方案：2, 5/11, -5.12, 0.31，所有数字都具有有限小数展开。因此，这些数字是有理数。

重要提示

• 如果我们乘以两个无理数，那么它将是有理数或无理数。例如：如果我们乘以 √2 和 Π，我们将得到一个无理数。这次乘积的结果是 4.4428829。还有另一个例子：如果我们乘以 √2 和 √2，那么我们将得到一个有理数，即 2。
• 在乘法运算过程中，无理数集不一定是封闭的。但在有理数的情况下，它是封闭的。
• 如果我们执行两个给定无理数的加法和乘法，那么它可能生成一个有理数作为结果。例如：如果我们乘以 2 的平方根 (√2) 再次与 2 的平方根相乘，那么它将生成一个有理数 2，即 √2 * √2 = 2。这里，√2 用于表示无理数。所以，总而言之，我们知道如果我们乘以两次，那么这个乘法的结果将是一个有理数，即 2。