离散数学中的满射函数

满射函数又称作映上函数。借助满射函数，我们可以展示两个集合的映射。在这种映射中，我们将有两个集合，f 和 g。一个集合称为值域，另一个集合称为定义域。如果一个函数将 x 的每个元素都映射到 y 的每个元素，那么该函数就称为满射函数。

换句话说，我们可以说对于 y 中的每个 y，都存在一个 x，使得 f(x) = y。在确定反函数的情况下，满射函数扮演着非常重要的角色。为了确定给定的函数是否是满射函数，我们必须了解这两个集合。我们可以将任何函数分解为一对一函数和映上函数。现在我们将学习满射函数的定义、性质和示例。

满射函数的定义

满射函数是一种其像集和余定义域彼此相似的函数。在满射函数中，值域和余定义域也彼此相等。在满射函数中，没有一个元素被遗漏。这是因为 Y 的所有元素都与 A 的某个元素映射。当我们遇到每个 y 余定义域至少有一个前像 x 定义域的情况时，该函数就称为满射函数。为了理解这个概念，我们将考虑一个示例如下所示

假设 X = {x1, x2, x3, x4}，且 Y = {1, 2, 3}，则 f: X → Y

在上面的图中，我们可以看到我们有集合 A 和集合 B。集合 B 的每个元素都至少与集合 A 的一个元素相连接。在这个图中，集合 A 的元素 X 连接或映射到集合 B 的元素 1。同样，Y 连接到 2，元素 Z 和 W 连接到相同的元素 3。因此，我们可以说上面的函数是一个满射函数或映上函数。

在上面的图中，我们可以看到有集合 A 和集合 B。在集合 B 中，有一个元素没有与集合 A 的任何元素映射。其他元素也以类似的方式映射，就像之前的元素一样。这意味着集合 A 的元素 X 与集合 B 的元素 1 连接。Y 与 2 连接，而 Z 和 W 都与元素 3 连接。因此，我们可以说这个函数不是一个满射函数或映上函数。

示例

假设有一个满射函数 y = f(x)，它用于将 y 的所有元素映射到 x 的任何元素。这里我们将展示一些满射函数的示例，如下所述

• 对于任何集合 X，恒等函数都是一个映上函数。
• 假设我们有一个函数 f: Z → {0, 1, 2}，它由 f(n) = n mod 3 定义。这个函数是一个满射函数。

现在我们将使用一个现实生活中的例子来更好地理解这个概念。

假设有一个函数用于显示公司所有 15 名员工的员工 ID。在这里，函数的定义域由 15 名员工表示，函数的余定义域由他们的员工 ID 构成。因为系统中每个员工 ID 只会对应一名员工。因此，这是满射函数的一个现实生活中的例子。

满射函数的公式

假设有一个从 A 到 B 的函数。为了使这个函数是满射的，我们必须确保我们使用了 B 的所有元素。我们可以借助公式确定从一个集合到另一个集合的满射函数的数量。

满射函数数量的公式

假设有两个集合 A 和 B。如果集合 A 包含 m 个元素，集合 B 包含 n 个元素，那么满射函数的总数将通过以下公式计算

在这个公式中，只有当 m ≥ n 时，上面的公式才有效。如果 m < n，满射函数的数量将为 0。这是因为我们不可能使用 B 的所有元素。因此，

1. 当 n < m 时，在这种情况下，满射函数的数量 = 0。
2. 当 n = m 时，在这种情况下，满射函数的数量 = m!。

计算映上函数的数量

这里我们将通过一个例子来学习如何确定映上函数的数量。假设有两个集合 A 和 B。集合 A 包含 m 个元素，B 包含 2 个元素。在这种情况下，映上或满射函数的数量如下所述

2^m - 2

上面的表达式可以用以下方式表示

• 从包含 m 个元素的集合 A 到包含 2 个元素的集合 B 的函数总数为 2^m。
• 在上述两个函数中，如果出现所有元素都连接到 B 的第一个元素或所有元素都连接到 B 的第二个元素的情况，则这两个函数将不是满射函数。
• 因此，2^m - 2 是满射函数的总数。

满射函数的性质

如果一个函数的余定义域和值域彼此相似，那么这个函数就称为满射函数或映上函数。满射函数有很多性质。其中一些性质如下所述

• 满射函数在余定义域中的每个元素都必须在定义域中被赋予至少一个值。
• 对于每个满射函数，都存在一个右逆函数。换句话说，我们可以说每个包含右逆函数的函数都将被视为满射函数。
• 如果函数 f 的值域和余定义域彼此相等，那么这个函数 f: A → B 将是映上函数。
• 假设 f: A → B 是一个任意函数。在这种情况下，A 的每个成员在 f 下都有一个像，并且所有的像都被称为 T 的成员。这个函数 f 的值域将由这些像的集合 R 表示。

满射函数的图

借助图表，我们可以非常容易地找出给定的函数是否是满射的。为此，我们将比较值域和余定义域。如果值域和余定义域相等，则该函数是满射的。在图中，如果每条水平线相交一个或多个点，则该函数将被视为映上函数。在任何函数的值域中，如果一个元素无法插入该函数的图或未能通过水平线测试，在这种情况下，该函数将不是满射函数。对于满射函数，图的示例由下图描述

满射函数与单射函数之间的关系

满射和单射都有另一个名称。满射函数也称为映上函数，而单射函数也称为一对一函数。两者之间的主要区别在于，在单射函数中，每个 x 只能映射到一个 y，而在满射函数中，所有输出值都已映射。

与满射函数一样，单射函数也是学习反函数的重要先决条件。如果一个函数既是单射又是满射，那么这种类型的函数就称为双射函数。在这个函数中，每个输出集合都与输入集合有连接，并且每个输出值都只与一个输入值有连接。

在上面的图中，存在一对一或单射关系，因为左侧集合中的每个元素都只与右侧集合中的一个元素连接。这也是满射或映上关系，因为右侧集合中的每个元素都与左侧集合连接。因此它也是双射，因为它同时包含单射和满射。例如，函数 y = x 是双射的，因为它同时包含单射和满射。双射函数被称为特殊类函数，因为它也包含反函数。

满射函数的示例

满射函数有各种示例，如下所述

示例 1：在此示例中，我们假设 X = {4, 5, 7, 8}，Y = {1, 3}，f = {(4, 1), (5, 3), (7, 1), (8, 3)}。现在我们必须证明 f 是否是从 X 到 Y 的满射函数。

解决方案：从上面的问题中，我们得到以下详细信息

X = {4, 5, 7, 8}

Y = {1, 3}

& f = {(4, 1), (5, 3), (7, 1), (8, 3)}

因此，集合 Y 的所有元素在集合 X 中都包含一个定义域元素。这意味着集合 X 的元素 4, 7 的像为 1，元素 5, 8 的像为 3。这里 {1, 3} 被称为函数的值域，并且该值域等于 Y。因此，f: X → Y 是映上或满射函数。

示例 2：在此示例中，我们有两个集合 X 和 Y，其中 X = {1, 2, 3, 4}，Y = {x, y, z}。现在我们必须确定映上函数的数量。

解决方案：根据上面的问题，我们得到以下详细信息

X = {1, 2, 3, 4}

Y = {x, y, z}

在这种情况下，n = 4，m = 3。

现在，我们将 n 和 m 的值代入以下公式，然后我们将得到以下结果

= 3⁴ - ³C₁(2)⁴ + ³C₂(1)⁴

= 81 - 3 (16) + 3(1)

= 81 - 48 + 3

= 84-48

= 36

因此，从 X 到 Y 的满射函数数量为 36。

示例 3：在此示例中，我们有一个函数 g: R → R，其定义为 g(x) = 1 + x²。现在必须确定此函数是否为满射或映上函数。

解决方案：这里我们有 g(x) = 1 + x²

我们知道对于所有实数，x² > 0。因此，1 + x² > 1 或 g(x) > 1，我们也可以说此函数的值域是 (1, ∞)。实数 (R) 也包含在第二个集合中。因此，此值域和余定义域彼此不相等。因此，给定的函数不是满射函数。

示例 4：在此示例中，我们有一个函数 g: R → R，其定义为 g(x) = x²。现在必须确定此函数是否为满射或映上函数。

解决方案：对于 x，我们没有实数，因为 x² = -1。因此，我们可以说函数 g(x) = x² 不是满射函数。然而，函数 g: R → R ≥ 0，由 g(x) = x² 定义。此函数是一个具有受限余定义域的满射函数。因此，对于非负实数余定义域 Y 中的每个 y，在实数定义域 X 中至少有一个 x，使得 x² = y

重要说明

当我们学习满射函数或映上函数时，应该记住一些要点，如下所述

• 如果值域和余定义域相等，则该函数称为满射函数。
• 我们可以将任何函数分解为一对一函数和映上函数。