数学归纳法17 Mar 2025 | 阅读 2 分钟 数学归纳法是建立涉及自然数的普通结果有效性的过程。 工作规则设 n0 为一个固定的整数。 假设 P (n) 是一个涉及自然数 n 的陈述，我们希望证明 P (n) 对于所有 n ≥n0 成立。 1. 归纳基础: P (n0) 成立, 即 P (n) 对于 n = n0 成立。 2. 归纳步骤: 假设 P (k) 对于 n = k 成立。 示例 1 用数学归纳法证明以下公式 1 + 3 + 5 +.... + 2n - 1 = n2. 解: 让我们假设一下。 P (n) = 1 + 3 + 5 +..... + 2n - 1 = n2. For n = 1, P (1) = 1 = 12 = 1 It is true for n = 1................ (i) 归纳步骤: 对于 n = r, P (r) = 1 + 3 + 5 +..... +2r-1 = r2 is true......................... (ii)
Adding 2r + 1 in both sides
P (r + 1) = 1 + 3 + 5 +..... +2r-1 + 2r +1
= r2 + (2r + 1) = r2 + 2r +1 = (r+1)2..................... (iii)
As P(r) is true. Hence P (r+1) is also true.
From (i), (ii) and (iii) we conclude that.
1 + 3 + 5 +..... + 2n - 1 =n2 is true for n = 1, 2, 3, 4, 5 ....Hence Proved.
示例 2 解: 对于 n = 1, 对于 n = 1 成立。 归纳步骤: 对于 n = r,................... (i) 在等式两边加上 (r+1)2, 我们得到
由于 P (r) 成立, 因此 P (r+1) 成立。 12 + 22 + 32 +......+ n2= 例子 3: 证明对于任何整数 n 解决方案 Let P (n) = 11n+2+122n+1
For n = 1,
P (1) = 113+123=3059=133 x 23
So, 133 divide P (1).................. (i)
归纳步骤: 对于 n = r, P (r) = 11r+2+122r+1=133 x s............ (ii)
Now, for n = r + 1,
P (r+1) = 11r+2+1+122(r)+3=11[133s-122r+1] + 144. 122r+1
= 11 x 133s + 122r+1.133=133[11s+122r+1]=133 x t........... (iii)
As (i), (ii), and (iii) all are true, hence P (n) is divisible by 133.
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= 1
成立........... (ii)
+ (r+1)2
对于 n = 1, 2, 3, 4, 5 ..... 成立。 证明完毕。