离散数学中的逆性质

• 如果一个集合包含一个运算，使得每一个元素都有逆元，那么这个集合就具有逆元性质。如果一个集合中的一个元素，无论与运算的左侧或右侧结合，总是得到单位元，那么这个元素就被称为逆元。我们可以通过一个例子来理解这个概念。
• 假设有一个集合A，包含两个变量，x和y。其中x用来表示任意元素，y用来表示该集合中的特殊元素，也就是x的逆元。集合中还有一个元素e，用来表示单位元。符号#用来表示运算。逆元性质对于集合A，在运算#下，描述如下：
• 如果集合中存在任意元素x，那么必须存在另一个元素y，使得x#y = e 且 y#x = e。

注意：如果一个集合在一个运算下想要具有逆元性质，那么它首先需要具有单位元性质。只有在具有单位元性质之后，集合才能具有逆元性质。如果集合中不存在单位元性质，那么逆元的定义将毫无意义。因此，我们可以说，如果一个集合在一个运算下不包含单位元性质，那么它就不具有逆元性质。

• 这意味着，只有当集合中的每个元素都具有单位元性质时，该集合才具有逆元性质。
• 我们还注意到，逆元的左侧和右侧必须相同。假设有两个元素y和z，使得x#y = e 但 y#z ≠ e，以及 z#x = e 但 x#z ≠ e。在这种情况下，将不存在逆元。y和z都不是逆元，因为当这些元素作用于x时，左侧和右侧的结果都不相同，并且都不会得到单位元。
• 还有一点需要知道，逆元总是成对出现，也就是说，如果元素x是元素y的逆元，那么y也必然是x的逆元。也可能有一种情况，一个元素是自身的逆元。
• 集合的单位元总是拥有自身的逆元。例如：假设有一个单位元e。在这种情况下，e#e = e。因此，根据定义，当e作用于自身时，无论是在左侧还是右侧，都不会改变自身，并且结果本身就是单位元。

注意：在任何集合中，元素通常只有一个逆元，但也有可能一个元素可以有多个逆元。

逆元性质的例子

有很多例子可以通过一些我们已经知道的无限集合及其运算来理解逆元性质。这些例子如下：

示例 1

整数集在加法运算下具有逆元性质。这是因为整数集包含单位元0，并且如果我们用任何一个数与其相反数相加，结果都是0。假设有一个整数x，使得x+(-x) = 0 且 -x+x = 0。因此，我们可以看到，当加法运算作用于x时，无论是在左侧还是右侧，结果都是单位元0。因此，在整数集上的加法运算中，-x是x的逆元。

例如

1. 7 + (-7) = 0

这里-7是7的相反数。

2. -3 + (3) = 0

这里-3是3的相反数。

示例 2

自然数集在加法运算下不具有逆元性质。这是因为自然数集不包含负数，而我们已经知道在加法运算下-x是x的逆元。只有当集合包含逆元时，它才能拥有逆元性质。

示例 3

整数集在除法运算下不具有逆元性质。这是因为在除法运算下，整数集不包含单位元。根据逆元的定义，整数集必须具有单位元才能拥有逆元性质。

示例 4

正整数集在乘法运算下具有逆元性质。这是因为如果我们用任何一个数与其倒数相乘，我们就会得到单位元1。任何数的倒数都可以通过翻转该数来确定。假设有两个整数x和y，使得(a/b) * (b/a) = 1。例如：5/7的倒数可以通过翻转得到，即7/5。同样，数字5的倒数可以通过翻转得到，即1/5。

例如

(5/4) * (4/5) = 1 或 20/20 = 1

7 * 1/7 = 1 或 7/7 = 1

注意：如果我们取一个负数的倒数，倒数中的符号不会改变。例如：数字-3/8的倒数可以通过翻转得到，即-8/3。

使用运算表证明逆元性质的例子

如果我们使用运算表来检查给定的集合在给定运算下是否具有逆元性质，那么逆元性质的例子会变得更加困难。因此，下面将通过运算表来展示一些简单集合的逆元性质的例子。

例1：在这个例子中，我们有一个集合 {a, b, c} 和一个运算 *，我们将通过运算表来展示。

解：集合 {a, b, c} 在运算 * 下的运算表如下：

我们知道，'a'是上述集合的单位元。

现在，我们将通过查找运算结果为单位元'a'的元素对，来找出上述集合的逆元。我们将通过以下运算表来完成：

根据上表，我们得到以下详细信息：

a*a = a

b*b = a

c*c = a

因此，根据这一点，每个元素都有一个逆元，如下所示：

a 的逆元是 a

b 的逆元是 b

c 的逆元是 c

所以我们可以看到，这个集合中的每个元素都有自己的逆元。

因此，通过上述运算表，我们证明了集合 {a, b, c} 在运算 * 下具有逆元性质。

例2：在这个例子中，我们有一个集合 {a, b, c} 和一个运算 ~，我们将通过运算表来展示。

解：集合 {a, b, c} 在运算 ~ 下的运算表如下：

正如我们所学到的，上表不包含逆元。因此，上述集合在运算 ~ 下不具有逆元性质。

例3：在这个例子中，我们有一个集合 {x, y, z} 和一个运算 ^，我们将通过运算表来展示。

解：集合 {x, y, z} 在运算 ^ 下的运算表如下：

正如我们所学到的，如果我们在运算 ^ 下执行任何运算，那么该集合将没有单位元。所以我们将尝试确定表中可能存在的逆元。

因此，为此，我们将通过查找运算结果为单位元'y'的元素对，来找出上述集合的逆元。我们将通过以下运算表来完成：

根据上表，我们得到以下详细信息：

y^y = y

根据这一点，只有元素y拥有自身的逆元。这是因为在这个集合中，单位元是y。

但是这个集合中不存在任何元素a，使得a^x = y 或 x^a = y，所以我们可以说x没有逆元。

同样，这个集合中不存在任何元素a，使得a^z = y 或 z^a = y，所以我们可以说z没有逆元。

一个集合在一个运算下只可能拥有逆元性质，如果该集合中的每个元素都有逆元。但在该集合中，元素x和z没有逆元。

因此，通过上述运算表，我们证明了集合 {x, y, z} 在运算 ^ 下不具有逆元性质。

例4：在这个例子中，我们有一个集合 {x, y, z, v} 和一个运算 $，我们将通过运算表来展示。

解：集合 {x, y, z, v} 在运算 $ 下的运算表如下：

在上表中，我们可以看到在运算 $ 下，集合 {x, y, z, v} 的单位元是y。所以我们将尝试确定表中可能存在的逆元。

因此，为此，我们将通过查找运算结果为单位元'y'的元素对，来找出上述集合的逆元。我们将通过以下运算表来完成：

根据上表，我们得到以下详细信息：

x$z = y

y$y = y

z$v = y

z$x = y

v$x = y

现在我们将尝试确定表中可能存在的逆元。为此，我们将逐一考虑集合中的每个元素，如下所示：

首先，我们将考虑元素y，如下所示：

y$y = y

因此，元素y拥有逆元，因为它包含了单位元。我们知道，单位元是y，所以元素y拥有自身的逆元。

现在我们将考虑元素z，如下所示：

z$v = y

z$x = y

x$z = y

因此，当我们考虑 z$v = y 时，y不是z的逆元，因为 v$z ≠ y。

然而，z$x = y 且 x$z = y。因此，我们可以说x是z的逆元。

现在我们将考虑元素x，如下所示：

v$x = y

x$z = y

z$x = y

因此，当我们考虑 v$x = y 时，v不是z的逆元，因为 x$v ≠ y。

然而，x$z = y 且 z$x = y。因此，我们可以说z是x的逆元。

现在我们将考虑元素v，如下所示：

z$v = y

v$x = y

这里 z ≠ x。这是因为不存在任何元素w，使得 w^v = y 且 v^w = y。因此，我们可以说v没有逆元。

因此，我们证明了在上述集合 {x, y, z, v} 在运算 $ 下，y、z和x拥有逆元，但v没有逆元。

根据逆元性质的定义，一个集合在一个运算下拥有逆元性质，仅当该集合中的每个元素都有逆元。

因此，通过上述运算表，我们证明了集合 {x, y, z, v} 在运算 $ 下不具有逆元性质。