离散数学中的对角矩阵

如果我们想了解离散数学中的对角矩阵，那么首先我们需要稍微讨论一下几种矩阵类型。所以我们将学习三角矩阵。我们有两种三角矩阵，即上三角矩阵和下三角矩阵。这两种矩阵的描述如下。

如果一个方阵中主对角线上方的所有元素都是零，则称该矩阵为下三角矩阵。下三角矩阵的示例如下。

如果一个方阵中主对角线下方的所有元素都是零，则称该矩阵为上三角矩阵。上三角矩阵的示例如下。

在本节中，我们将学习对角矩阵、其性质、反对角矩阵、对角矩阵的行列式、对角矩阵的逆、矩阵的对角化、分块对角矩阵、对角矩阵的例子等等。

什么是对角矩阵

当一个矩阵同时是上三角矩阵和下三角矩阵时，我们称之为对角矩阵。也就是说，如果主对角线上方和下方的所有元素都为零，那么这种类型的矩阵就是对角矩阵。这意味着，除了主对角线上的元素外，其余所有元素都为零的矩阵称为对角矩阵。主对角线上的元素可以是任何值。根据数学定义，矩阵 A = [aij] 如果满足以下两个条件，则称为对角矩阵：

1. 矩阵 A 必须是方阵
2. 如果 aij = 0 当且仅当 i ≠ j

例如

如果主对角线上的元素为 0，那么这种类型的矩阵也仍然是对角矩阵，因为根据对角矩阵的定义，除了对角线之外的所有元素都必须是 0。这意味着对角线上的元素是 0 还是其他值并不重要。只要对角线以外的元素为零，该矩阵就是对角矩阵。

例如

在这个矩阵中，主对角线以外的所有元素都是 0，并且它是一个方阵。主对角线上的元素分别是 -5、0 和 9。因此，矩阵 D 是一个对角矩阵。

按阶数划分的对角矩阵示例

下面我们将展示不同阶数的方阵，如下所示：

二阶对角矩阵

二阶对角矩阵的通用形式如下：

该矩阵具有相同的行数和列数（2*2）。因此，它是一个方阵。该矩阵的主对角线上的元素分别是 2 和 -3。该矩阵的所有其他元素都是 0。因此，矩阵 A 是一个对角矩阵。

三阶对角矩阵

三阶对角矩阵的通用形式如下：

该矩阵具有相同的行数和列数（3*3）。因此，它是一个方阵。该矩阵的主对角线上的元素分别是 1、5 和 -2。该矩阵的所有其他元素都是 0。因此，矩阵 A 是一个对角矩阵。

四阶对角矩阵

四阶对角矩阵的通用形式如下：

该矩阵具有相同的行数和列数（4*4）。因此，它是一个方阵。现在我们可以看到，该矩阵的一个对角线元素 (D₂₂) 是 0。此值允许满足对角矩阵的定义，因为根据定义，我们只关心非对角线元素（必须为 0），并且对角矩阵可以包含任何值（可以为 0）。该矩阵的主对角线上的元素分别是 1、0、3 和 3。该矩阵的所有其他元素都是 0。因此，矩阵 D 是一个对角矩阵。

对角矩阵的性质

对角矩阵有很多性质，其中一些如下：

性质 1

如果两个相同阶数的对角矩阵进行加法或乘法运算，则结果仍然是对角矩阵。

例如：假设有两个对角矩阵 P 和 Q，P 和 Q 的元素如下：

P 和 Q 的加法如下：

性质 2

如果对一个对角矩阵进行转置运算，则得到的矩阵是原始矩阵本身。也就是说，D = D^T。

例如

性质 3

对角矩阵在乘法运算时是可交换的。

例如：假设有两个对角矩阵 P 和 Q，其中：

PQ 的乘法如下：

QP 的乘法如下：

在上面的结果中，我们可以看到 PQ = QP。

因此，对角矩阵在乘法下是可交换的。

性质 4

对角矩阵在加法运算时也是可交换的。

例如：假设有两个对角矩阵 P 和 Q，其中：

A 和 B 的加法如下：

B 和 A 的加法如下：

在上面的结果中，我们可以看到 A + B = B + A。

因此，对角矩阵在加法下是可交换的。

更多性质

与对角矩阵有关的一些更多性质如下：

• 如果一个矩阵是对角矩阵，那么它一定是一个方阵。
• 标量矩阵、单位矩阵和零矩阵都被认为是对角矩阵的例子。这是因为这些矩阵的所有非主对角线元素都是零。
• 如果两个对角矩阵相加，则结果仍然是对角矩阵。
• 如果两个相同阶数的对角矩阵相乘，则结果仍然是对角矩阵。此时，其主对角线上的元素将是原始矩阵相应元素的乘积。

例如：假设有两个对角矩阵 A 和 B，其中：

这两个矩阵的乘法如下：

对角矩阵的行列式

通过将对角矩阵的对角线元素相乘，我们可以计算出该对角矩阵的行列式。假设有一个矩阵 A，我们需要确定该矩阵的行列式。矩阵 A 的元素如下：

det A = 2(-15 - 0) - 0(0 - 0) + 0(0 - 0) = -30。这等于主对角线元素 2、-3 和 5 的乘积。因此，

如果对角矩阵的所有主对角线元素都非零，则该对角矩阵是非奇异矩阵。

对角矩阵的逆

对角矩阵的逆仍然是一个对角矩阵。在这个矩阵中，主对角线上的元素将是原始矩阵相应元素的倒数。计算对角矩阵的逆的公式如下：

D-1 = 1/|D|∗(adj D)

现在我们将通过一些例子来理解这一点。

示例 1：假设有一个矩阵 D，其中：

现在我们将按此方式确定矩阵 D 的行列式：

现在我们将这些值代入逆矩阵的公式，如下所示：

D^-1 = 1/|D| * (adj D)

=

示例 2：假设有一个 3*3 的对角矩阵。这里我们需要找到该矩阵的伴随矩阵。对角矩阵的元素如下：

解决方案：要确定伴随矩阵，我们首先按此方式确定给定矩阵的行列式：

det A = 2(-15 - 0) - 0(0 - 0) + 0(0 - 0) = -30

给定矩阵 A 的逆是 A^-1 = (adj A) / (det A)。现在我们将 adj A 和 det A 的值代入这个方程得到如下结果：

上面的矩阵 A^-1 也是一个对角矩阵。这里我们还可以看到，主对角线上的元素是 A 中相应元素的倒数。因此，

分块对角矩阵

如果一个矩阵被分割成分块矩阵，那么它就是一个分块矩阵。这种方阵用于在非对角块中包含零矩阵，而在主对角块中包含方阵。也就是说，非对角块为 0。如果 D 是一个 n*n 阶的矩阵，并且对于所有 i ≠ j 都有 Dij = 0，那么矩阵 D 就称为分块对角矩阵。

反对角矩阵

反对角矩阵和对角矩阵在元素排列方面就像镜子一样。如果一个矩阵中的元素除了对角线上的元素外，从左下角到右上角的对角线上的元素都为零，那么该矩阵就称为反对角矩阵。换句话说，我们可以说这种类型的矩阵在对角线元素的上方和下方都有零。如果存在反对角矩阵，那么它一定是非对角矩阵。反对角矩阵必须是以下形式：

反对角矩阵的示例如下：

矩阵的对角化

如果有一个方阵 A，我们想对其进行对角化，那么它可以表示为以下形式：

A = XDX-1

其中

D 用于表示对角矩阵，该对角矩阵是由 A 的特征值形成的；X 由 A 的相应特征向量形成。

假设矩阵 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, ....., λn。在这种情况下，对角矩阵 D 和 X 将表示如下：

这里用于表示与特征值 λ1, λ2, λ3, ....., λn 依次对应的特征向量，并以列向量的形式书写。

关于对角矩阵的重要说明

在学习对角矩阵的概念时，有一些需要了解的要点，如下所示：

• 对角矩阵中，除了主对角线上的元素外，其他所有元素都为零。
• 因此，对角矩阵的行列式可以通过主对角线元素的乘积来计算。
• 对角矩阵的逆仍然是一个对角矩阵。在这个矩阵中，主对角线上的元素将是原始矩阵主对角线元素（对角线元素）的倒数。
• 如果一个矩阵是对角矩阵，那么它一定是对称的。

对角矩阵的例子

对角矩阵有很多例子，其中一些如下：

示例 1：在这个例子中，我们需要检查一个对角矩阵和一个非对角矩阵的乘积是否为对角矩阵。

解决方案：为此，我们将假设一个对角矩阵 A 和一个非对角矩阵 B，它们具有以下元素：

和

现在我们将按此方式进行两个矩阵 A 和 B 的乘法：

在这个结果矩阵中，我们可以看到 AB 的乘积不是一个对角矩阵。因此，对角矩阵与非对角矩阵的乘积不是对角矩阵。

示例 2：在这个例子中，我们有一个矩阵 C，我们需要确定它是否为对角矩阵。矩阵 C 的元素如下：

解决方案：该矩阵包含 3 行和 2 列。这意味着行数和列数不相等。因此，该矩阵不是方阵。因此，该矩阵不能是对角矩阵。

示例 3：在这个例子中，我们有一个矩阵 A，我们需要确定该矩阵的行列式。矩阵 A 的元素如下：

解决方案：我们可以看到矩阵 A 是一个对角矩阵。这是因为该矩阵的行列式可以通过其对角线元素的乘积来计算。

所以 det A = 7(1)(4) = 28

因此，A 的行列式是 28。

示例 4：在这个例子中，我们有两个矩阵 A 和 B，我们需要将它们相加。我们还需要确定结果矩阵是否为对角矩阵。A 和 B 的元素如下：

解决方案：从问题中，我们得到以下矩阵：

A 和 B 的加法如下：

从这个结果矩阵中，我们可以看到除了对角线元素外，所有元素都为零。因此，当我们执行上述矩阵 A 和 B 的加法时，我们得到一个对角矩阵作为结果。

示例 5：在这个例子中，我们有两个矩阵 A 和 B，我们需要将它们相乘。我们还需要确定结果矩阵是否为对角矩阵。A 和 B 的元素如下：

解决方案：从问题中，我们得到以下矩阵：

AB 的乘法如下：

从这个结果矩阵中，我们可以看到除了对角线元素外，所有元素都为零。因此，当我们执行上述矩阵 A 和 B 的乘法时，我们得到一个对角矩阵作为结果。

示例 6：在这个例子中，我们有一个矩阵 A，我们需要确定该矩阵的逆。该矩阵的元素如下：

解决方案：我们可以看到这是一个对角矩阵。我们可以通过用其主对角线元素的倒数替换所有主对角线元素来获得对角矩阵的逆，在此过程中，主对角线元素以外的所有元素都将保持不变。因此，给定矩阵的逆表示如下：

因此，给定对角矩阵的逆是：

示例 7：在这个例子中，我们有两个对角矩阵 A 和 B。我们需要证明这两个矩阵的乘积是可交换的。矩阵 A 和 B 的元素如下：

解决方案：从问题中，我们得到以下矩阵：

AB 的乘法如下：

BA 的乘法如下：

因此，证明了对角矩阵 A 和 B 的乘积是可交换的。

示例 8：在这个例子中，我们有一个矩阵 A，我们需要确定该矩阵的对角化。矩阵 A 的元素如下：

解决方案：我们可以将给定矩阵的对角化表示为 XDX^-1 形式的矩阵乘积，其中：

D 用于表示具有特征值的对角矩阵

X 用于表示相应特征向量的矩阵

现在我们将逐一确定特征值和特征向量，然后我们将能够找到该矩阵的逆。

寻找特征值

假设 |A - λ I| = 0，其中 I 用于表示单位矩阵。

(-3 - λ) (6 - λ) - (-4)(5) = 0

-18 + 3λ - 6λ + λ² + 20 = 0

λ² - 3λ + 2 = 0

(λ - 1) (λ - 2) = 0

λ = 1, λ = 2

因此，

寻找特征向量

当 λ = 1 时

A - λ I = A - I

从上面的方程，我们将得到两个方程，即：

-4x1 - 4x2 = 0 和 5x1 + 5x2 = 0

这里我们将假设 x2 = 1。

现在我们将把 x2 的值代入方程 5x1+5x2 = 0 来得到 x1 的值，如下所示：

5x1 + 5 = 0

x1 = -5/5

x1 = -1

因此，与 λ = 1 对应的特征向量如下：

同样，我们可以按以下方式确定与 λ = 2 对应的特征向量：

因此，

现在我们将按以下方式确定该矩阵的逆：

因此，

A = XDX^-1

现在我们将所有计算出的值代入此方程，如下所示：

因此，矩阵 A 的对角化为：