离散数学中的拉格朗日定理

拉格朗日定理是由约瑟夫-路易斯·拉格朗日（Joseph- Louis Lagrange）提出的。在抽象代数领域，拉格朗日定理被称为中心定理。根据该定理，如果存在一个有限群 G，其中包含一个子群 H，那么 H 的阶将整除 G 的阶。在群中，我们可以用群的阶来表示元素的数量。在本节中，我们将学习该定理的陈述和证明。我们还将学习有助于证明该定理的三个引理。

拉格朗日定理的陈述

根据此陈述，群 G 的阶可以被子群 H 的阶整除。我们可以通过以下方式表示拉格朗日定理：

|G| = |H|

现在我们将证明拉格朗日定理。为此，我们首先需要了解三个引理和一些重要的术语，它们描述如下：

陪集是什么？

当我们想全面了解拉格朗日定理时，我们需要了解陪集，它描述如下：

在群论中，如果存在一个有限群 G，它有一个子群 H，并且该有限群包含一个元素 g，那么：

gH = { hg: h 是子群 H 中的一个元素} 是 G 中元素 H 的左陪集。

Hg = {hg: h 是子群 H 中的一个元素} 是 G 中元素 H 的右陪集。

现在我们将学习下一个有助于证明拉格朗日定理的主题，即引理，它描述如下：

引理

有三种类型的引理，我们将一一列举如下：

引理 1： 如果存在一个群 G，它有一个子群 H，那么子群 H 和 H 的任何一个陪集之间都存在一一对应关系。

引理 2： 如果存在一个群 G，它有一个子群 H，那么左陪集关系 g1 ~ g2 当且仅当它包含以下等价关系：

g1* H = g2 * H。

引理 3： 设 S 是一个集合，并且 S 上存在一个等价关系 "~"。设 A 和 B 是两个等价类，使得 A ∩ B = ∅，那么 A = B。

拉格朗日定理的证明

现在我们可以使用上述三个引理来证明拉格朗日定理的陈述。

拉格朗日定理陈述的证明

假设存在一个阶为 m 的有限群 G，以及一个阶为 n 的子群 H。现在我们将考虑群 G 关于 H 的陪集分解。现在我们假设每个陪集 aH 都由 n 个不同的元素组成。

设 H = {h1, h2, h3, …, hn}，则 ah1, ah2, ah3, …., ahn 将被称为 aH 的 n 个不同的成员。

现在我们将假设 ah_i=ah_j⇒h_i=h，这是群 G 的消去律。由于我们知道群 G 是有限群，因此离散的左陪集数量也将是有限的，设为 p。因此，np 将用于表示所有陪集的总元素数量。在图 G 中，元素的总数也将等于 np。因此，m = np。

p = m /n

这里 n 是子群 H 的阶，m 是有限群 G 的阶。

上述方程表明子群的阶是子群 H 的阶的约数。它还将表明商 p 也是群 G 的阶的约数。

证毕，|G| =|H|

拉格朗日定理的推论

这里有三种拉格朗日定理的推论，描述如下：

推论 1

如果存在一个阶为 m 的群 G，那么群 G 的阶将被任何一个元素 a ∈ G 的阶整除。这里 a^m = e。

证明： 设 'a' 的阶为 p，这是最小的正整数。因此，它具有以下关系：

a^p = e

在这种情况下，我们有：

a, a², a³, a⁴, …., a^p-1, a^p = e，该群包含构成子群的所有不同元素。由于 p 用于表示子群的阶，因此群 G 将被 a 的阶 p 整除。

所以，可以这样写：

m = np。这里，n 用于表示一个正整数。

所以，

a^m = a^np = (a^p)ⁿ = e

得证

推论 2

如果有限群 G 的阶是素数，那么该群将没有真子群。

证明： 设 m 是 G 的素数阶。根据素数的性质，在素数阶 m 中，总共有两个约数：1 和 m。因此，群 G 的子群将是 G 本身和 {e}。所以对于有限群 G，我们没有真子群。证毕。

推论 3

如果一个群的阶是素数，那么这个群将是循环群。

证明： 设 m 是群 G 的素数阶，且 a ≠ e ∈ G。

由于 'a' 的阶是 m 的约数。G 的阶可以是 m 或 1。但是，a 的阶 o(a) ≠ 1，因为 a ≠ e。因此，o(a) = p，并且 G 将由 'a' 生成一个循环子群，其阶也为 m。

根据以上解释，我们已经证明了由 'a' 生成的循环子群和群 G 是同构的。所以 G 是循环的。

重要说明

关于拉格朗日定理，我们还应该知道一些要点。这些要点描述如下：

• 根据该定理，群 G 的阶将是子群 H 的阶的约数。
• 如果存在一个阶为 m 的群 G，那么群 G 的阶将被任何一个元素 a ∈ G 的阶整除，特别地，a^m = e。
• 如果有限群 G 的阶是素数，那么该群将没有真子群。
• 如果一个群的阶是素数，那么这个群将是循环群。