哈斯图

它是一个有用的工具，它完整地描述了相关的偏序关系。因此，它也被称为排序图。将集合 A 上关系的有向图转换为等效的 Hasse 图非常容易。 因此，在绘制 Hasse 图时，必须记住以下几点。

1. Hasse 图中的顶点用点而不是圆圈表示。
2. 由于偏序是自反的，因此 A 的每个顶点必须与其自身相关，因此 Hasse 图中删除了从一个顶点到自身的边。
3. 由于偏序是传递的，因此每当 aRb，bRc 时，我们都有 aRc。 消除 Hasse 图中由传递属性暗示的所有边，即 删除从 a 到 c 的边，但保留其他两条边。
4. 如果一个顶点“a”通过一条边连接到顶点“b”，即 aRb，则顶点“b”出现在顶点“a”的上方。 因此，可以省略 Hasse 图中边的箭头。

Hasse 图比偏序的有向图简单得多。

示例： 考虑集合 A = {4, 5, 6, 7}。 设 R 为 A 上的关系 ≤。 绘制 R 的有向图和 Hasse 图。

解决方案： 集合 A 上的关系 ≤ 由下式给出

             R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5}, {6, 6}, {7, 7}}

关系 R 的有向图如图所示

要绘制偏序的 Hasse 图，请应用以下几点

1. 删除自反属性暗示的所有边，即
   (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7)
2. 删除传递属性暗示的所有边，即
   (4, 7), (5, 7), (4, 6)
3. 用点替换代表顶点的圆圈。
4. 省略箭头。

Hasse 图如图所示

上界： 设 B 是一个偏序集 A 的子集。 如果对于每个 y ∈ B，都有 y ≤ x，则元素 x ∈ A 称为 B 的上界。

下界： 设 B 是一个偏序集 A 的子集。 如果对于每个 x ∈ B，都有 z ≤ x，则元素 z ∈ A 称为 B 的下界。

示例： 考虑偏序集 A = {a, b, c, d, e, f, g}，如图所示。 另设 B = {c, d, e}。 确定 B 的上界和下界。

解决方案： B 的上界是 e、f 和 g，因为 B 的每个元素都“≤” e、f 和 g。

B 的下界是 a 和 b，因为 a 和 b 都“≤” B 的每个元素。

最小上界 (SUPREMUM)

设 A 是一个偏序集 S 的子集。 如果 M 胜过 A 的每个元素，即，对于 A 中的每个 x，我们有 x <=M，则 S 中的一个元素 M 称为 A 的上界

如果 A 的上界在 A 的每个其他上界之前，则它称为 A 的上确界，并用 Sup (A) 表示

最大下界 (INFIMUM)

如果 m 在 S 的子集 A 的每个元素之前，即，对于 A 中的每个 y，我们有 m <=y，则偏序集 S 中的一个元素 m 称为 A 的下界

如果 A 的下界在 A 的每个其他下界之后，则它称为 A 的下确界，并用 Inf (A) 表示

示例： 确定 B = {a, b, c} 的最小上界和最大下界（如果存在），Hasse 图如图所示的偏序集

解决方案： 最小上界是 c。

最大下界是 k。