离散数学中的零矩阵

当一个矩阵的所有元素都等于0时，这个矩阵就被称为零矩阵。由于零矩阵只包含0作为其元素，因此也被称为空矩阵。换句话说，引入零矩阵是为了在符号上表示“无”，而“空”（null）这个词也用来表示“无”。因此，零矩阵也称为空矩阵。有时，零矩阵也是方阵。

将任何其他矩阵与空矩阵相加，结果都是该矩阵本身。因此，我们可以说空矩阵也称为给定矩阵的加法单位元。m×n 被称为空矩阵的阶，这个阶可以包含不等行数和列数。零矩阵或空矩阵的一些例子如下：

在本节中，我们将学习空矩阵的定义、例子和性质。

零矩阵的定义

零矩阵可以被描述为以行和列形式排列的零元素。零矩阵是一种所有元素都为零的矩阵。我们可以用符号 O 来表示零矩阵或空矩阵。我们可以通过下标来表示矩阵的维度。

如果一个矩阵和一个零矩阵的阶相同，那么这两个矩阵相加不会改变原矩阵。因此，这个矩阵也被称为加法单位元。

零矩阵的例子

这里我们将展示不同阶的零矩阵，具体如下：

1. 该矩阵是一个阶为 1×1 的零矩阵。我们可以看到，该矩阵以 1 行 1 列的形式包含一个零。
   O = [0]
2. 该矩阵是一个阶为 1×2 的零矩阵。我们可以看到，该矩阵以 1 行 2 列的形式包含两个零。
   O = [0 0]
3. 该矩阵是一个阶为 2×2 的零矩阵。我们可以看到，该矩阵以 2 行 2 列的形式包含四个零。
   
4. 该矩阵是一个阶为 3×3 的零矩阵。我们可以看到，该矩阵以 3 行 3 列的形式包含九个零。

在上面的例子中，我们看到了离散数学中零矩阵的形成。通过这些例子，我们也清楚了零矩阵可以是方阵或长方阵。

注意

• 在零矩阵的情况下，所有元素都等于零。
• 如果有一个矩阵 A 和一个零矩阵，我们将得到 A 作为输出矩阵。

零矩阵的加法

当我们把一个零矩阵和一个具有相同阶 m×n 的非零矩阵相加时，相加的结果将是原始矩阵本身。

假设有一个 m×n 矩阵 A，其中 A = [aij]，以及一个零矩阵 O，它也是一个 m×n 矩阵。那么将有以下关系：

零矩阵的例子

这里我们将展示加法矩阵的例子，具体如下：

在这些例子中，我们可以看到，当我们把一个零矩阵和另一个矩阵相加时，结果矩阵中的矩阵的标识（identity）不会改变。因此，它被称为矩阵加法的加法单位元。

零矩阵的乘法

假设有两个非零矩阵。如果我们将这两个矩阵相乘，就有可能得到一个零矩阵。如果我们有两个实数 x 和 y，其中 xy = 0，在这种情况下，要么 x = 0，要么 y = 0。对于矩阵，我们也可以应用相同的概念。因此，如果矩阵 A 的行包含零元素，而矩阵 B 的列也包含零元素，并且这两个矩阵具有相同的阶，那么这两个矩阵的乘积将是一个零矩阵。

零矩阵乘法的例子

假设有两个非零矩阵 A 和 B，具体如下：

解： A 和 B 的乘积将等于：

注意：如果两个矩阵相乘的结果是零矩阵，那么不一定其中一个矩阵是零矩阵。

零矩阵的性质

空矩阵有很多重要的性质，具体如下：

• 空矩阵也可以是方阵。
• 在空矩阵中，行数和列数可以是不相等的。
• 当我们将任何矩阵加到一个空矩阵时，结果矩阵不会改变。
• 当我们将任何矩阵乘以一个空矩阵时，结果矩阵会将原始矩阵变成空矩阵。
• 在空矩阵的情况下，行列式等于零。
• 空矩阵是一种奇异矩阵。

零矩阵的例子

有很多零矩阵的例子，其中一些如下：

例 1： 在这个例子中，我们需要展示一个包含 2 行 3 列的空矩阵。

解： 如果一个空矩阵包含 2 行 3 列，那么意味着它的阶是 2×3。这个矩阵的所有元素都将是 0。

因此，我们得到了所需的空矩阵。

例 2： 在这个例子中，我们有一个加法单位元，并且需要证明这个矩阵的加法单位元是空矩阵。加法单位元描述如下：

解： 根据题目，我们有以下加法单位元：

具有相同阶的空矩阵描述如下：

给定矩阵和空矩阵的加法描述如下：

因此，我们可以看到，给定矩阵和空矩阵相加得到的是同一个矩阵。

因此，证明了空矩阵是上述矩阵的加法单位元。