斜对称矩阵

在离散数学中，我们可以将斜对称矩阵定义为与其转置矩阵的负数相似的方阵。如果一个矩阵包含相同数量的行和列，我们就可以称它为方阵。如果有一个矩阵 A，那么该矩阵的转置将用符号 A^T 表示。如果一个矩阵满足条件 A = -A^T，那么该矩阵就是斜对称矩阵。斜对称矩阵有很多应用领域，例如统计分析、机器学习以及更多地方。在本节中，我们将学习斜对称矩阵的定义、性质、相关定理、特征值、迹以及斜对称矩阵的示例等等。

什么是斜对称矩阵

如果一个方阵与它的转置矩阵的负数具有相同的值，那么这个矩阵就被称为斜对称矩阵。要理解斜对称矩阵的概念，我们必须了解求矩阵转置的方法。假设有一个矩阵 B。我们可以用一个公式来确定斜对称矩阵，该公式描述如下：

B = -B^T

矩阵的转置

如果我们将原始矩阵的行或列的元素进行交换，那么这个矩阵就被称为转置矩阵。我们可以用符号 T 来表示矩阵的转置。如果一个矩阵的维度是 n*m，那么它的转置矩阵的维度将是 m*n。现在我们将通过一个例子来理解转置的概念，该例子描述如下：

例如：在此示例中，我们有一个 3*3 的矩阵 A。我们将确定矩阵 A 的转置。矩阵 A 的元素描述如下：

解：要执行此矩阵的转置，我们将第一行变为第一列，第二行变为第二列，第三行变为第三列，如下所示：

这里 A = A^T。

斜对称矩阵的定义

假设有一个 n*n 大小的方阵 B。当且仅当 B^T = -B 时，该矩阵才被认为是斜对称的。如果一个斜对称矩阵的负数与其转置矩阵相似，那么我们可以称这个矩阵为斜对称矩阵。斜对称矩阵可以表示如下：

如果有一个斜对称矩阵 B = [bij]_n*n，那么对于所有的 i 和 j，即 1 ≤ i ≤ n 且 1 ≤ j ≤ n，都有 bij = -bji。这里 n 用来表示任何自然数。在这个方程中，如果我们令 i = j，那么对于所有的 i，我们都会得到 bii = 0。这意味着在这种斜对称矩阵的情况下，所有的对角线元素都为 0。

斜对称矩阵示例

假设有一个方阵 B，其中：

该矩阵的转置描述如下：

矩阵 B 的负数描述如下：

在此示例中，B^T = -B，b12 = -b12 且 b11 = b22 = 0。因此，我们可以说矩阵 B 是一个斜对称矩阵。

确定斜对称矩阵的步骤

有一些步骤我们应该遵循，以确定矩阵是否为斜对称矩阵，这些步骤描述如下：

步骤 1：第一步，我们将确定给定矩阵的转置。

步骤 2：第二步，我们将确定给定矩阵的负数。

步骤 3：在此步骤中，我们将查看矩阵的转置和矩阵的负数是否相似。

步骤 4：如果矩阵的转置和矩阵的负数相似，则该矩阵将被称为斜对称矩阵。

现在我们将通过一个例子来理解所有这些步骤，该例子描述如下：

假设我们有一个矩阵 A，其中：

该矩阵的转置描述如下：

现在我们将对矩阵 A 取负数，得到以下结果：

在这里我们可以看到矩阵 A 的转置和矩阵 A 的负数是相似的。因此矩阵 A 是一个斜对称矩阵。

斜对称矩阵的性质

如果我们想知道给定矩阵是否为斜对称矩阵，需要遵循两个条件。根据第一个条件，给定矩阵必须是方阵，即它必须具有相同数量的行和列。根据第二个条件，给定矩阵及其转置的负数必须相似。斜对称矩阵有多种性质，其中一些性质描述如下：

• 如果我们有两个斜对称矩阵并想对它们进行相加，那么我们总是会得到一个斜对称矩阵作为结果。假设有两个斜对称矩阵 A 和 B，使得 A^T = -A 且 B^T = -B。在这种情况下，它们的和为 (A+B)^T = -(A+B)。
• 如果存在一个实斜对称矩阵 A，在这种情况下，A² 将是一个对称的半负定矩阵。
• 在斜对称矩阵的情况下，迹（trace）始终为 0。这是因为当我们对该矩阵的所有主对角线元素进行相加时，总是会得到零。
• 如果存在一个实斜对称矩阵 A，在这种情况下，A+I 矩阵将始终是可逆的。其中 I 用于表示单位矩阵。
• 如果存在一个实斜对称矩阵 A，则它将包含实特征值 λ，且 λ 等于 0。
• 如果我们用标量或实数乘以一个斜对称矩阵，在这种情况下，我们得到的将是一个斜对称矩阵。假设有一个标量 k，以及一个斜对称矩阵 B，那么它们的乘积将是一个斜对称矩阵，形式为 (kB)^T = -kB。

与斜对称矩阵相关的定理

在斜对称矩阵的情况下，我们有两个重要的定理。这里我们将学习这两个定理及其证明。

定理 1：如果有一个方阵 B，包含实数元素，在这种情况下，A + A^T 将是一个对称矩阵，而 A - A^T 将是一个斜对称矩阵。

证明

这里我们将假设：

P = A + A^T

现在我们将对假设的矩阵 P 进行转置，得到以下结果：

P^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T = P

这表明 A + A^T 是一个对称矩阵。

之后，我们将假设：

Q = A - A^T

现在我们将对假设的矩阵 Q 进行转置，得到以下结果：

Q^T = (A + (-A^T))^T = A^T + (-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -Q

这表明 A - A^T 是一个斜对称矩阵。

定理 2：如果有一个方阵，那么我们可以将其写成一个对称矩阵 S 和一个斜对称矩阵 V 的和。通过以下公式，我们可以确定斜对称矩阵和对称矩阵的和。

假设有一个方阵 B。那么：

A = (1/2) × (A + A^T) + (1/2) × (A - A^T)。这里 A^T 用于表示矩阵 A 的转置。

• 如果 A + A^T 表示一个对称矩阵，那么 (1/2) × (A + A^T) 也将表示一个对称矩阵。
• 如果 A - A^T 表示一个斜对称矩阵，那么 (1/2) × (A - A^T) 也将表示一个斜对称矩阵。

因此，如果存在一个方阵，那么我们可以将其写成一个斜对称矩阵和一个对称矩阵的和。

斜对称矩阵的行列式

现在我们将使用以下方法通过一个 3*3 矩阵来验证此性质：

现在我们将使用以下公式找到 B 的行列式：

|B| = 0 (b11 的余因子) + a (b12 的余因子) + b (b13 的余因子)

= a (b12 的余因子) + b (b13 的余因子)

= a((-1)¹⁺² (0 - (bm))) + b ((-1)¹⁺³ (am))

= a(-1)³ (bm) + b (1)⁴ (am)

= a(-1) (bm) + b (1) (am)

= -abm + abm

= 0

如果一个斜对称矩阵的阶数为奇数，则该矩阵的行列式将始终为零。

斜对称矩阵的特征值

在斜对称矩阵的情况下，特征值必须为零或虚数。如果存在一个实斜对称矩阵 A 和实特征值，在这种情况下，λ 将等于 0。这表明如果我们有一个非零的特征值在斜对称矩阵中，我们将得到一个非实数。

证明：假设有一个矩阵 A，A 的一个特征值为 λ，对应于特征值 λ 的特征向量为 x。

⇒ Ax = λx

现在我们将使用 x̅^T 来乘以上述方程的两边（这里 x̅^T 用于表示特征值 x 的共轭），如下所示：

x̅^TAx = λ x̅^Tx = λ||x||²

这里 x̅^TAx 用于表示 x̅^T 和 Ax 的点积。我们知道点积是可交换的。所以我们将得到以下结果：

x̅^TAx = (Ax)^Tx̅ = x^TA^Tx̅。

这里我们有一个斜对称矩阵 A，所以 A^T = -A。现在我们将这个值代入上面的方程，得到以下结果：

x^TA^Tx̅ = -x^TAx̅

现在我们将利用 A 是实数的这一事实，并取 Ax = λx 的共轭，如下所示：

Ax̅ = ���λλ�x̅

因此我们将得到以下结果：

-x^TAx̅ = -x^T���λλ�x̅ = -���λλ�||x||²。

-���λλ�||x||² = λ||x||²

由于存在特征向量 x，根据定义，它是非零的。因此 ||x|| ≠ 0。

因此我们将得到以下结果：

-���λλ� = λ

⇒ λ 要么是虚数，要么是零。

斜对称矩阵的迹

我们可以通过将所有对角线元素相加来计算矩阵的迹。在斜对称矩阵的情况下，对角线元素将始终为 0。因此，该矩阵的迹将始终为 0。

关于斜对称矩阵的重要说明

在学习斜对称矩阵的概念时，有一些重要的要点需要了解。这些要点描述如下：

• 如果一个矩阵的负数与其转置矩阵相似，则该矩阵称为斜对称矩阵。
• 我们可以将其写成一个斜对称矩阵和一个对称矩阵的和。假设有一个方阵 A，那么我们可以将此陈述表示为 A = (1/2) × (A + A^T) + (1/2) × (A - A^T)。
• 如果一个方阵的阶数为奇数，那么这种类型矩阵的行列式为 0。

斜对称矩阵的示例

有很多斜对称矩阵的例子，其中一些例子描述如下：

示例 1：在此示例中，我们有一个矩阵 A，并且我们需要确定它是否是斜对称矩阵。矩阵 A 的元素描述如下：

解：根据题目，我们有矩阵 A

现在我们将对这个矩阵进行转置，如下所示：

现在我们将对矩阵 A 取负数，如下所示：

这里我们有 A^T = -A，a12 = -a21 且 a11 = a22 = 0。

答案：矩阵 A 是一个斜对称矩阵。

示例 2：在此示例中，我们有一个矩阵 A，并且矩阵 A 的元素描述如下：

这里我们需要确定选项中哪个对矩阵 A 是正确的。

1. 斜对称矩阵
2. 对称矩阵
3. 对称矩阵和斜对称矩阵
4. 以上都不是

解：矩阵 A 及其转置描述如下：

现在我们将对原始矩阵 A 取负数或逆，如下所示：

在这里我们可以看到转置矩阵 A^T 和逆矩阵 (-A) 是相似的。这里 A^T = -A，并且 a12 = -a21，a11 = a22 = 0。因此矩阵 A 是一个斜对称矩阵。

答案：正确选项是 (a)。

示例 3：在此示例中，我们有一个斜对称矩阵 A，其中：

现在我们需要确定 a 和 b 的值。

解：根据题目，我们知道 A 是一个斜对称矩阵。所以 A^T = -A。

现在我们将按照以下方式比较对应元素：

-a - 2 = -3 ⇒ -a = -1 ⇒ a = 1

-b + 3 = 3 ⇒ -b = 0 ⇒ b = 0

答案：a 的值为 1，b 的值为 0。

示例 4：在此示例中，我们有一个矩阵，并且我们需要确定给定矩阵是否是斜对称矩阵。

解：这里，我们将检查矩阵 B 是否为斜对称矩阵。为此，我们将对矩阵 B 进行转置并求其负数。所以我们首先对这个矩阵进行转置，得到以下结果：

现在我们将对矩阵 B 取负数或逆，得到以下结果：

在这里我们可以看到矩阵 B 的转置和矩阵 B 的负数是相似的。因此矩阵 B 是一个斜对称矩阵。

答案：矩阵 B 是一个斜对称矩阵。