罗尔中值定理

罗尔定理是中值定理的一个特例。罗尔定理指出，如果函数 f 是在闭区间 [a, b] 上定义的实值函数，其中 (a ≤ x ≤ b)，并且在开区间 ]a,b[（其中 (a < x < b)）可导，且 f(a) = f(b)，那么在 ]a,b[ 中至少存在一个值 c，使得

罗尔中值定理的证明

如果函数 f 在 [a,b] 上连续，在开区间 ]a,b[ 上可导，且 f(a) = f(b) = 0，那么在 (a,b) 中存在 c 使得 f'(c) = 0。

证明

让我们假设可能发生的两种情况

情况 1

对于 [a,b] 中的所有 x，f(x) = 0。

在上述情况下，a 和 b 之间存在的值可以作为 c（在方程中提到），因为函数在 [a,b] 上是常数，并且我们知道常数函数的导数始终为零。

情况 2

对于开区间 ]a,b[ 中的 x，f(x) ≠ 0

我们通过极值定理知道 f 在 [a,b] 上的某个位置达到其绝对最小值和最大值。

正如我们上面讨论的，f(a) = f(b) = 0，并且在这种情况下，对于开区间 ]a,b[ 中的某些 x，f(x) 不等于零。因此，f 将在闭区间 [a,b] 中的某个 C_max 处具有正的绝对最大值，或者在闭区间 ]a,b[ 中的某个 C_min 处具有负的绝对最小值，或者两者兼有。

取 c 为 C_max 或 C_min，取决于你拥有哪一个

开区间 ]a,b[ 包含 c，并且要么；

• 对于开区间 ]a,b[ 中的所有 x，f(c) ≥ f(x)；或者
• 对于开区间 ]a,b[ 中的所有 x，f(c) ≤ f(x)。

这意味着 f 在 c 处有局部极值。

由于 f 在 c 处也可导，费马定理适用并得出结论

f'(c) = 0

让我们通过一个例子来理解这个概念

示例 1

验证函数 y = x² + 3，a = - 2 和 b = 2 的罗尔定理

解决方案

我们知道罗尔定理的陈述，函数 y = x² + 3 在 [-2, 2] 上连续，在 (-2, 2) 上可导

已知：

F(x) = x² + 3

F(-2) = (-2)² + 3 = 4 + 3 = 7

F(2) = (2)² + 3 = 4 + 3 = 7

因此，

F(-2) = F(2)

因此，f(x) 在 -2 和 2 处的值重合

现在，

F'(x) = 2x

当 c = 0 时，

F'(c) = 2(0)，其中 c=0 ∈ (-2,2)

示例 2

对于所有 y = mx² + nx + k 的二次多项式，罗尔点在 c = 0 处。此外，k 的值为零。那么 n 的值是多少？

解决方案

已知：

K = 0

我们必须重写函数以得到

y = mx² + nx

现在，对函数求导得到

Y' = 2mx + n = 0

将其等同于零，我们得到罗尔点，它也为零

2m(0) + n = 0

n = 0

几何解释

罗尔中值定理的几何意义是，曲线 y = f(x) 在 x = a 和 x = b 之间是连续的。在区间内的每个时刻，都可以做一条切线，并且与横坐标对应的纵坐标相等，那么至少存在一条与 x 轴平行的曲线切线。

代数上，罗尔定理指出，如果 f(x) 是 x 的多项式函数，并且方程 f(x) = 0 的两个根是 x = a 和 x = b，那么在这些值之间至少存在方程 f(x) = 0 的一个根。

基于罗尔定理的问题

示例 1

验证函数 y = x² + 5，a = - 3 和 b = 3 的罗尔定理

解决方案

我们知道罗尔定理的陈述，函数 y = x² + 5 在 [-3, 3] 上连续，在 (-3, 3) 上可导

已知：

F(x) = x² + 5

F(-3) = (-3)² + 5 = 9 + 5 = 14

F(3) = (3)² + 5 = 9 + 5 = 14

因此，

F(-3) = F(3)

因此，f(x) 在 -3 和 3 处的值重合

现在，

F'(x) = 2x

当 c = 0 时，

F'(c) = 3(0)，其中 c=0 ∈ (-3,3)

示例 2

对于所有 y = ix² + jx + k 的二次多项式，罗尔点在 c = 0 处。此外，k 的值为零。那么 j 的值是多少？

解决方案

已知：

K = 0

我们必须重写函数以得到

y = ix² + jx

现在，对函数求导得到

Y' = 2ix + j = 0

将其等同于零，我们得到罗尔点，它也为零

2i(0) + j = 0

J = 0