等价关系

如果关系 R 满足以下三个属性，则集合 A 上的关系 R 称为等价关系

1. 关系 R 是自反的，即 aRa ∀ a∈A。
2. 关系 R 是对称的，即 aRb ⟹ bRa
3. 关系 R 是传递的，即 aRb 且 bRc ⟹ aRc。

示例： 令 A = {1, 2, 3, 4} 且 R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}。

证明 R 是一个等价关系。

解决方案

自反性： 关系 R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3) 和 (4, 4) ∈ R。

对称性： 关系 R 是对称的，因为当 (a, b) ∈ R 时，(b, a) 也属于 R。

示例： (2, 4) ∈ R ⟹ (4, 2) ∈ R。

传递性： 关系 R 是传递的，因为当 (a, b) 和 (b, c) 属于 R 时，(a, c) 也属于 R。

示例： (3, 1) ∈ R 且 (1, 3) ∈ R ⟹ (3, 3) ∈ R。

因此，由于 R 是自反的、对称的和传递的，因此 R 是一个等价关系。

注意1：如果 R₁ 和 R₂ 是等价关系，则 R₁∩ R₂ 也是一个等价关系。

示例： A = {1, 2, 3}
                 R₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
                 R₂ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}
                 R₁∩ R₂ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

注意2：如果 R₁ 和 R₂ 是等价关系，则 R₁∪ R₂ 可能或可能不是等价关系。

示例： A = {1, 2, 3}
                 R₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
                 R₂ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}
                 R₁∪ R₂= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}

因此，自反性或对称性是等价关系，但传递性可能或可能不是等价关系。

逆关系

设 R 是从集合 A 到集合 B 的任何关系。 R 的逆关系用 R^-1 表示，是从 B 到 A 的关系，它由那些反向后属于 R 的有序对组成，即

R-1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}

示例1： A = {1, 2, 3}
                   B = {x, y, z}

解： R = {(1, y), (1, z), (3, y)
               R^-1 = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}
                  显然 (R^-1)^-1 = R

注意1：R^-1 的定义域和值域分别等于 R 的值域和定义域。

示例2： R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 2)}
                R^-1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (2, 3)}

注意2：如果 R 是一个等价关系，那么 R^-1 始终是一个等价关系。

示例： 令 A = {1, 2, 3}
                    R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
                    R^-1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2)}
                    R^-1 是一个等价关系。

注意3：如果 R 是一个对称关系，那么 R^-1=R，反之亦然。

示例： 令 A = {1, 2, 3}
                    R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}
                    R^-1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3)}

注意4：反向顺序定律
     (SOT)^-1 = T^-1 或 S^-1
     (ROSOT)^-1 = T^-1 或 S^-1 或 R^-1.