德摩根定律证明

德摩根定律陈述了数学陈述和概念如何通过它们的对立面相互关联。在集合论中，德摩根定律描述了两个集合的并集的补集始终等于其补集的交集。而两个集合的交集的补集始终等于其补集的并集。在本文中，我们将通过一些例子学习如何证明德摩根定律。我们也可以在计算机工程中的布尔逻辑中使用德摩根定律。

德摩根定律陈述与证明

在继续讲解德摩根定律之前，我们首先需要了解什么是集合？顾名思义，集合是对象的或元素的明确定义的集合。德摩根定律非常简单易懂。它包含并集、交集和集合的补集等不同运算，这些运算可以对两个集合执行。在全集中，我们考虑与特定上下文相关的所有对象或元素。全集表示为 U。

让我们通过一个例子来理解这个概念；考虑一个全集 U，以及全集的子集 A 和 B。

对于任意两个有限集 A 和 B

1) 并集德摩根定律

= (A ∪B)' = A' ∩ B'

2) 交集德摩根定律

= (A ∩B)' = A' ∪ B'

并集德摩根定律

= (A ∪B)' = A' ∩ B' ……… (1)

其中集合的补集定义为

A' = { x:x ∈ ∪且 x ∉A}

其中，

A' = 表示补集

我们可以借助维恩图轻松理解这个概念。

第一个方程的左侧产生集合 A 和 B 的补集。这意味着集合 A 和 B 的并集是所有属于集合 A 或集合 B 的元素的集合。上图显示了集合 A 和集合 B 的维恩图。

在上图中，突出显示的蓝色区域表示 A。 (A)' 的补集是除突出显示的蓝色区域之外的所有元素的集合。上图显示了 A 和 B 的补集的维恩图。

类似地，第一个方程的右侧可以用给定的维恩图表示。上图显示了 A 的补集。

绿色部分表示集合 A，黄色部分表示其补集 A'。

类似地，B 的补集可以表示为

黄色部分表示集合 B，白色部分表示其补集：B'。

现在，我们将图 3 和图 4 结合起来，得到给定的维恩图

因此，

L.H.S = R.H.S

数学上，

A ∪B = A 或 B

(A ∪B)' = A 且 B 都不

A' = 不在 A 中

B' = 不在 B 中

A' ∩B' = 不在 A 且不在 B 中。

令 J = (A U B)' 且 K = A' ∩ B'。

设 s 为 J 的任意元素，则 s ∈ J = s ∈ (A U B)。'

= s ∉ (A U B)

= s ∉ A 且 s ∉ B

= s ∈ A' 且 s ∈ B'。

= s ∈ A' ∩ B'。

= s ∈ K

因此，J ⊂ K ………(i)

再次，设 t 为 K 的任意元素，则 t ∈ K = t ∈ A' ∩ B'。

= t ∈ A' 且 t ∈ B'。

= t ∉ A 且 t ∉ B

= t ∉ (A U B)

= t ∈ (A U B)。'

= t ∈ J

因此，K ⊂ J ………… (ii)

现在合并 (i) 和 (ii)，我们得到； J = K 即 (A U B)' = A' ∩ B'

因此，通过应用维恩图并分析德摩根定律，我们证明了 (A)' = A' ∩B'。

德摩根定理描述了所有项的补集的乘积等于每个单独项的补集的总和。

德摩根定律的证明

(A ∩ B)' = A' U B'。

令 P = (A ∩ B)' 且 Q = A' U B'

设 s 为 M 的任意元素，则 s ∈ P = s ∈ (A ∩ B)。'

= s ∉ (A ∩ B)

= s ∉ A 或 s ∉ B

= s ∈ A' 或 s ∈ B'。

= s ∈ A' U B'。

= s ∈ N

因此，P ⊂ Q …………(i)

再次，设 t 为 Q 的任意元素，则 t ∈ N = t ∈ A' U B'。

= t ∈ A' 或 t ∈ B'。

= t ∉ A 或 t ∉ B

= t ∉ (A ∩ B)

= t ∈ (A ∩ B)。'

= t ∈ M

因此，Q ⊂ P…………(ii)

现在合并 (i) 和 (ii)，我们得到； P = Q 即 (A ∩ B)' = A' U B'

基于德摩根定律的问题

问题 1

如果 U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，A = {5,6,7} 且 B = {6,7,9}。证明

(A ∪ B)' = A' ∩ B'。

解决方案

我们知道：

U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {5, 6, 7}

B = {6, 7, 9}

A ∪ B = {5, 6, 7} ∪ {6, 7, 9}

= {5, 6, 7, 9}

因此，(A ∪ B)' = {2, 3, 4, 8} ……… (i)

现在，A = {5, 6, 7} 所以，A' = {2, 3, 4, 8, 9}

而，B = {6, 7, 9} 所以，B' = {2, 3, 4, 5, 8} A' ∩ B' = {2, 3, 4, 8, 9} ∩ {2, 3, 4, 5, 8}

因此，A' ∩ B' = {2, 3, 4, 8 } ……… (ii)

合并方程 (i) 和 (ii) 我们得到；

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

问题2

如果 U = {a, b, c, d, e}，P = {a, b, c} 且 Q = {b, c, e}。

德摩根定律证明：(P ∩ Q)' = P' U Q'。

解决方案

我们知道：

U = {a, b, c, d, e}

P = {a, b, c}

Q = {b, c, e}

(P ∩ Q) = {a, b, c} ∩ {b, c, e}

= {b, c}

因此，(P ∩ Q)' = {a, d, e} ………(i)

再次，P = {a, b, c} 所以，P' = {d, e}

而 Q = {b, c, e} 所以，Q' = {a, d}

P' ∪ Q' = {d, e} ∪ {a, d}

因此，P' ∪ Q' = {a, d, e} ……………….. (ii)

合并方程 (i) 和 (ii)，我们得到；

(P ∩ Q)' = P' U Q'。

问题3

如果 U = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13}，A = {5, 7, 11} 且 B = {7, 11, 13}。证明

(A ∪ B)' = A' ∩ B'。

解决方案

我们知道：

U = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13}

A = {5, 7, 11}

B = {7, 11, 13}。

A ∪ B = {5, 7, 11} ∪ {7, 11, 13}。

= {5, 7, 11, 13}

因此，

(A ∪ B)' = {1, 3, 6, 9} ……… (i)

现在 A = {5, 7, 11}

所以，A' = {1, 3, 6, 9, 13}

而，B = {7, 11, 13}。所以，B' = {1, 3, 5, 6, 9}

A' ∩ B' = {1, 3, 6, 9, 13} ∩ {1, 3, 5, 6, 9}

因此，A' ∩ B' = {1, 3, 6, 9} ……………(ii)

合并方程 (i) 和 (ii) 我们得到；

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

问题4

如果 U = {p, q, r, s, t}，A = {p, q, r} 且 B = {q, r, t}。

德摩根定律证明：(A ∩ B)' = A' U B'。

解决方案

我们知道：

U = {p, q, r, s, t}

A = {p, q, r}

B = {q, r, t}。

(A ∩ B) = {p, q, r} ∩ {q, r, t}

= {q, r}

因此，(A ∩ B)' = {p, s, t} ……… (i)

再次，A = {p, q, r} 所以，A' = {s, t}

而，B = {q, r, t}

所以，B' = {p, s} A' ∪ B' = {s, t} ∪ {p, s}

因此，

A' ∪ B' = {p, s, t} ……… (ii)

合并方程 (i) 和 (ii)，我们得到；

(A ∩ B)' = A' U B'。